重庆市第八中学2023-2024学年高二数学上学期9月检测一试题（Word版附解析）

重庆八中高2025级高二（上）数学检测一

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为，所以=（5，7），故选A.

考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.

2. 已知直线，若，则实数的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对进行分类讨论，代入求解即可.

【详解】当时，直线的斜率，

直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直；

当时，直线的斜率，

直线的斜率，

因为，所以，

所以，解得：.

故选：D.

3. 已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.

【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

4. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A. 若与所成的角相等，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：A项中两直线还可能相交或异面,错误；

B项中两直线还可能相交或异面,错误；

C项两平面还可能是相交平面，错误；

故选D.

5. 直线与圆相交于、两点，若，则等于（    ）

A. 0 B.  C. 或0 D. 或0

【答案】D

【解析】

【分析】求出到圆心的距离和圆心 到直线 的距离，即可求出的值.

【详解】由题意，

∵，

∴到圆心的距离为 ，

∴圆心 到直线 的距离为：

，即.

解得：或，

故选：D.

6. 过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ），

A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条

【答案】B

【解析】

【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果.

【详解】均为正整数，可设直线，

将代入直线方程得：，

当时，，方程无解，，

，，，或，

或，即满足题意的直线方程有条.

故选：B.

7. 已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围．

【详解】解：如图建立坐标系，

设，，

则，，，

，，

，

，

即，所以，

当时，所以，所以．

故选：C．

8. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（    ）

A. 13 B. 11 C. 9 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.

【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，

圆的圆心为，半径为1，

可知，

所以，

故求的最小值，转化为求的最小值，

设关于直线的对称点为，设坐标为，

则 ，解得，故，

因为，可得，

当三点共线时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ）

A.  B.

C.  D. －2

【答案】AC

【解析】

【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.

【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，

因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，

所以．

故选：AC.

10. 点在圆的内部，则的取值可能是（    ）

A. -2 B.  C.  D. 2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据点圆的位置关系，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】因为点在圆的内部，

所以，所以选项BC符合题意，

故选：BC

11. 正方体中，下列结论正确的是（    ）

A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面ABCD所成角为

C. 二面角的大小为 D. 平面平面

【答案】AC

【解析】

【分析】选项A：先判断出与所成角即为,利用为正三角形，即可判断；

选项B：与平面ABCD所成角为，即可判断；

选项C：二面角的平面角为，即可判断；

选项D：设，连结，可以判断出即为二面角的平面角.在三角形ACO中，求出各边长，可以判断出，即可判断.

【详解】

选项A：先判断出与所成角即为与所成角，为正三角形，所以该角为；故A正确.

选项B：与平面ABCD所成角为；故B错误.

选项C：二面角的平面角为；故C正确.

选项D：

设，连结，因为，所以.

同理可证：,所以即为二面角的平面角。

不妨设AB=1，易求出：,

因为，所以，

所以平面平面不正确；故D错误.

故选：AC.

12. 已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则下列各选项正确的是（    ）

A. 四边形面积的最小值为4

B. 四边形面积的最大值为8

C. 当最大时，

D. 当最大时，直线方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.

【详解】由圆的几何性质可得，圆，半径为2，如下图所示：

对于，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，

因为，

当时，取最小值，且，

所以四边形的面积的最小值为，故A正确；

对于，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；

对于，因为为锐角，，且，

故当最小时，最大，此时最大，此时，故C正确；

对于D，由上可知，当最大时，且，

故四边形为正方形，且有，直线，

则方程为，联立，可得，即点，

由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，

此时直线的方程为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，三点共线，则＝_____．

【答案】6

【解析】

【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.

【详解】由于、、三点共线，则，

即，解得.

故答案为：6.

14. 已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．

【详解】直线化简为：，

令且，解得，，

所以直线过定点，

直线化简为：，

令且，解得，，

所以直线过定点，，

当与直线，垂直时，直线，的距离最大，

且最大值为，

故答案为：5．

15. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】本题首先可在中根据余弦定理得出，然后通过勾股定理得出，根据面面垂直的性质得出平面，外接球的球心到平面的距离为，再然后通过正弦定理求出的外接圆的半径，最后根据求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积.

【详解】在中，由余弦定理易知，，

即，解得，

因为，所以，

因为平面平面且交于，平面，

所以平面，外接球的球心到平面的距离为，

设的外接圆的半径为，外接球的半径为，

则由正弦定理得出，解得，

，解得，外接球的表面积，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查面面垂直证明线面垂直，考查余弦定理与正弦定理的应用，考查数形结合思想，是难题.

16. 若点A（x，y）满足C：（x+3）2+（y+4）225，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，||的最小值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】设B关于P点对称点为B′，，将模长最值问题转化为求圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离问题求解.

【详解】如图所示：设B关于P点对称点为B′（x，y），B（x0，y0），

由题意可知，解得，由B在直线3 x0+4 y0=12，

代入整理得3x+4y﹣32=0，

所以，

若点A满足C：（x+3）2+（y+4）225，点A在圆C内或圆上，

则所以||最小值为圆C的圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离减去半径，

所以||min5，

所以||的最小值

故答案为：

【点睛】此题考查求距离的最值问题，以向量为背景，通过几何关系进行转化，转化为求圆及其内部的点到直线距离的最值问题，涉及数形结合思想.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线与直线的交点为P.

（1）若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；

（2）若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为，求直线l1的方程．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）由题可求，由题知直线l与直线AB平行或过AB的中点，即求；

（2）可设直线方程的截距式，由题可得即求.

【详解】（1）由得，即，

因为直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，

∴直线l与直线AB平行或过AB的中点，

当直线l与直线AB平行时，直线l的方程为即，

当直线l过AB的中点时，直线l的方程为，

故直线l的方程为或.

（2）由题可设直线l1方程为，

则，解得，

故直线l1的方程为即.

18. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为4，．

（1）求的长及该长方体的外接球的体积；

（2）求正四棱锥的斜高和体积．

【答案】（1），；（2）斜高为，体积为．

【解析】

【分析】（1）根据长方体的棱长求对角线即可得到的长，利用线段就是其外接球直径，求得球的半径，进而求得其体积；

（2）设，交于点，连结，则为正四棱锥的高，取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，利用正四棱锥的性质以及锥体的体积公式可得结果.

【详解】（1）∵几何体长方体且，，

∴，

记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径，

则，∴，∴外接球的体积为．

（2）如图，设，交于点，连结，则为正四棱锥的高，

∵为正四棱锥，∴为正四棱锥的高，

又长方体的高为，∴，

取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，

在中，，，∴，

∵，，∴，

∴正四棱锥的斜高为，体积为．

19. 已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.

（1）求圆的方程；

（2）求的最小值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出，即可得到圆的方程；

（2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值．

【详解】（1）设圆一般方程为，依题意可得，

．

所以圆的方程为：．

（2）联立或，

不妨设，，则，

∴．

故的最小值为．

【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

20. 在如图所示的七面体中，底面为正方形，平面.已知.

（1）设平面平面，证明：平面；

（2）若平面平面，求的长.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由线面平行的判定定理可得∥平面，再利用线面平行的性质定理可证得∥，然后由线面平行的判定定理可得结论；

（2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，表示出平面和平面的法向量，然后由两平面垂直列方程可求得结果.

【小问1详解】

证明：因为底面为正方形，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，

因为平面，平面平面，

所以∥，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为平面，平面，

所以，

因为底面为正方形，所以，

所以两两垂直，

所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设（），

因为，，底面为正方形，可得，

所以，

所以，，

设平面和平面的法向量分别为，则

，，

令，，则

，

因为平面平面，

所以，解得或（舍去），

所以的长为.

21. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．

（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；

（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程；

（2）设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值.

【小问1详解】

由圆方程知：圆心，半径；

当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；

当直线斜率存在时，设其方程为：，即，

圆心到直线的距离，解得：，

直线方程为：，即；

综上所述：直线方程为或.

【小问2详解】

由圆的方程知：圆心，半径；

设点，

①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；

则被圆截得的弦长为：；

被圆截得的弦长为，解得：或；

或；

②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；

③当过的直线斜率存在且不为时，

设，则，

即，，

圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；

直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，

，即，，

又，，，，

当时，整理可得：，

满足题意的直线有无数对，，解得：，即；

当时，整理可得：，

满足题意的直线有无数对，，方程组无解；

综上所述：满足条件的点的坐标为.

22. 如图，已知直三棱柱中，且，、、分别为、、的中点，为线段上一动点.

（1）求与平面所成角的正切值；

（2）证明：；

（3）求锐二面角的余弦值的最大值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由线面夹角的定义结合图形线面关系即可得与平面所成角的正切值；

（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；

（3）根据空间向量坐标运算分别求解平面与平面的法向量，由二面角的夹角余弦公式结合函数关系即可得最值.

【小问1详解】

由直三棱柱，知面，即在的投影为，

所以为与平面所成角，

所以，

因此，与平面所成角的正切值为；

【小问2详解】

以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，

如图：则，，，，，，，，

故，为线段上一动点.

设，则，故，

所以，，故，

所以，即；

【小问3详解】

由（2）可知：，，，

设平面的法向量为，则，

即，令，则，，则，

设平面的法向量为，则，

即，则，令，则，则，

故设二面角的平面角为，结合图形，为锐角，

故，

令，，，

而函数在时单调递增，故时，取最小值，