2019年甘肃省武威市中考数学试卷及答案

2019年甘肃省武威市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（　　）

A．     B． C．       D．

2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．下列整数中，与最接近的整数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）

A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9

5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换

6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（　　）

A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3

8．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）

A．① B．② C．③ D．④

9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点　   　．

12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：

请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为　   　（精确到0.1）．

13．因式分解：xy2﹣4x＝　   　．

14．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为　   　．

15．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　   　．

16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于　   　．

17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　   　．

18．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是　   　．

三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．

19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0

20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　   　．

22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．

23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．

四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．

24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：

收集数据：

七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．

八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．

整理数据：

分析数据：

应用数据：

（1）由上表填空：a＝　   　，b＝　   　，c＝　   　，d＝　   　．

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？

（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．

26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．

点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．

问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

2019年甘肃省武威市中考数学试卷答案

1． C．2． D．3． A．4． D．5． B．6． C．7． A．8． B．9． C．10． B．

11．（﹣1，1）．12． 0.5．13． x（y+2）（y﹣2）．14． 415． y＝（x﹣2）2+1．16． 4﹣π．

17． 或18． 13a+21b．

19．解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，

＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，

＝4﹣2+﹣+1，

＝3．

20．解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：

，

解得：，

答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．

21．解：（1）如图⊙O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．

由题意OE＝4，BE＝EC＝3，

在Rt△OBE中，OB＝＝5，

∴S圆O＝π•52＝25π．

故答案为25π．

22．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．

∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，

∴四边形CEHF是矩形，

∴CE＝FH，

在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，

∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），

∴FH＝CE＝34.6（cm）

∵DH＝49.6cm，

∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），

在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，

∴∠DCF＝30°，

∴此时台灯光线为最佳．

23．解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，

∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；

（2）画树状图分析如下：

共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，

∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．

24．解：（1）由题意知a＝11，b＝10，

将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，

∴其中位数c＝＝78，

八年级成绩的众数d＝81，

故答案为：11，10，78，81；

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；

（3）八年级的总体水平较好，

∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，

∴八年级得分高的人数相对较多，

∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．

25．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，

∴3＝，3＝﹣1+b，

∴k＝3，b＝4，

∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；

（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．

26．（1）证明：连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝30°，

∴∠ADC＝60°，

∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴AC是⊙D的切线；

（2）解：连接AE，

∵AD＝DE，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AE＝DE，∠AED＝60°，

∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，

∴∠EAC＝∠C，

∴AE＝CE＝2，

∴⊙D的半径AD＝2．

27．解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：

则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，

∴△EB1C1是等腰直角三角形，

∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，

∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，

∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，

∴E、C1、N1，三点共线，

在△A1B1M1和△EB1M1中，，

∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），

∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，

∵A1M1＝M1N1，

∴EM1＝M1N1，

∴∠3＝∠4，

∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，

∴∠1＝∠2＝∠5，

∵∠1+∠6＝90°，

∴∠5+∠6＝90°，

∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．

28．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），

即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，

则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；

（2）存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），

则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，

同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，

设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，

同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，

①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，

设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），

故点Q（1，3）；

②当AC＝CQ时，如图1，

CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，

则QM＝MB＝，

故点Q（，）；

③当CQ＝AQ时，

联立①②并解得：x＝（舍去）；

故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；

（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，

∵﹣＜0，∴PN有最大值，

当m＝时，PN的最大值为：．