湖北省黄石市2021年中考数学真题试卷（解析版）

2021年湖北省黄石市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 的倒数是（    ）

A. ﹣2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用倒数的定义得出答案．

【详解】解：的倒数是：-2．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．

2. 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A. 梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．

【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；

B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；

C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；

D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．

3. 如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．

【详解】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．

4. 计算的结果是（　　）

A. 25x5y2 B. 25x6y2 C. －5x3y2 D. -10x6y2

【答案】B

【解析】

【详解】解：=．故选B．

5. 函数自变量的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且 D. 且

【答案】C

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．

【详解】解：函数的自变量的取值范围是：

且，

解得：且，

故选：C．

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

6. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（    ）

A. 46 B. 45 C. 50 D. 42

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数．

【详解】解：这组数据中出现次数最多的是50，

所以众数为50，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义．

7. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点．

【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°图形，

由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3) ．

故选B．

【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．

8. 如图，、是上的两点，，交于点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得是等边三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．

【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°

∴△AOB是等边三角形，

∵

∴

∴

故选：C

【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系，掌握“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键．

9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．

【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，

过D点作DH⊥AB于H点，

∵∠C=∠DHB=90°，

∴DC=DH，

，

设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，

在Rt△ADH中，由勾股定理：，

代入数据：，解得，故，

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．

10. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④

【答案】B

【解析】

【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；

②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；

③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；

④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.

【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；

②∵a、b互为相反数，

∴将x=-1与x=2代入解析式得：，

则：，

∵当时，对应的函数值，

∴得：，即：，

∴.

故②正确；

③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，

∴方程的正实数根在1和 之间，

∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），

∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，

∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.

故③正确；

④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，

∴可以判断抛物线开口向下，

∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，

∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；

∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，

∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，

∴综上当时，.

故④错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.

二、填空题（11－14小题，每小题3分，15－18小题，每小题3分，共28分）

11. 计算：______．

【答案】

【解析】

【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算．

【详解】，

故填：．

【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．

12. 分解因式：______．

【答案】．

【解析】

【分析】观察所给多项式有公因式a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．

【详解】解：原式，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．

13. 2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为______人．

【答案】1.412×109

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：14.12亿人=1412000000人．用科学记数法表示，可以表示成为1.412×109，

故答案为：1.412×109．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14. 分式方程的解是______．

【答案】

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：

去分母得：，

去括号化简得：，

解得：，

经检验是分式方程根，

故填：．

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

15. 如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）

【答案】10.5
 

【解析】

【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．

【详解】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=＝2，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2，
∴BE=BC+CF+EF=5+2+2=7+2，
∴AB=BE×tanE=（7+2）×1≈10.5米，
故答案为：10.5．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

16. 将直线向左平移（）个单位后，经过点(1，−3)，则的值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可．

【详解】解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到，

把(1，−3)代入，得到：，

解得m=3．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．

17. 如图，、两点在反比例函数（）的图象上，的延长线交轴于点，且，则的面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，得到△CBF∽△CAE，设，进而得到，即可求出△AOC的面积．

【详解】解：过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，如下图所示：

∵，

∴，

∵EF∥BF，

∴△CBF∽△CAE，

∴，

设，则，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定方法是解决本题的关键．

18. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．

（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．

（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．

【答案】    ①. 4    ②. ①③

【解析】

【分析】(1)将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在G点处，证明，，进而得到，即可求出的周长；

(2)对于①：将AM绕点A逆时针旋转90°，M点落在H点处，证明，即可判断；

对于②：设正方形边长为2，BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；

对于③：证明A、M、F、D四点共圆，得到∠AFM=∠ADM=45°进而求解．

【详解】解：(1)将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在G点处，如下图所示：

∵，且

∴，

在和中：，

∴，

∴，

又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，

∴∠1=∠3，

∵ABCD为正方形，

∴AD=AB，

在和中：，

∴，

∴

∴，

∴、、三点共线，

∴，

∴，

故答案为：；

(2)对于①：将AM绕点A逆时针旋转90°，M点落在H点处，如下图所示：

∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，

∴∠2=∠4，

在和中： ,

∴，

∴，，

∴，

∴在中，由勾股定理得：，

在和中： ,

∴，

∴，

∴，故①正确；

对于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为2，当F为CD中点时，

GB=DF=1，CF=1，设BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，

在Rt△EFC中，由勾股定理：，

∴，解得，即，

∴,故②错误；

对于③：如下图所示：

∵∠EAF=∠BDC=45°，

∴A、M、F、D四点共圆，

∴∠AFM=∠ADM=45°，

∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确；

故答案为：①③．

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的证明，四点共圆的判定方法等，属于综合题，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）

19. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可．

【详解】解：原式=

，

将代入，原式．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．

20. 如图，是的边上一点，， 交于点，．

（1）求证：≌；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见详解；（2）1．

【解析】

【分析】（1）根据证明即可；

（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．

【详解】（1）证明：，

，

在和中，

；

（2）由（1）得

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．

21. 已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；

（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．

【详解】（1）由题意可得：

解得：

即实数m的取值范围是．

（2）由可得：

∵；

∴

解得：或

∵

∴

即的值为-2．

【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．

22. 黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有______人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是______；

（2）补全条形统计图；

（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．

【答案】（1）50，108；（2）见解析；（3）．

【解析】

【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比可以求得本次活动的总人数，根据扇形统计图中A组所占的百分比可以求得A部分的扇形的圆心角的度数；

（2）根据（1）中的结果可以求得C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两位老师在同一个小组的结果数除以总的结果数即可．

【详解】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%=50，

扇形统计图中，表示A部分的扇形的圆心角是：360°×=108°，

故答案为：50，108；

（2）C组人数为：50-15-20-5=10，

补全的条形统计图，如图所示；

（3）根据题意画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两位老师在同一个小组的结果有2种，

∴两人恰好选中同一个的概率为．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

【答案】（1）鸡有23只，兔有12只；（2）这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．

【解析】

【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过40只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可．

【详解】（1）解：设笼中有x只鸡，y只兔，

根据题意得：，

解得：．

答：鸡有23只，兔有12只；

（2）设笼中有m只鸡，n只兔，总价值为w元，

根据题意得：，即，

∵，即，

解得：，

∴，

整理得：，

∵，

∴随的增大而减少，

∴当时，有最大值，最大值为3060，

当时，有最小值，最小值为2060，

答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌握一次函数的性质是解题的关键．

24. 如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；

（3）若，且，求切线的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）证明∠POB=∠CBO，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；

（2）证明△AOD是等边三角形得∠AOD=60°，设OA=R，求出AE=，AB=，PO=2R，根据四边形的面积是求出R，再利用求解即可；

（3）利用设出BC=m，则AC=3m，分别求出，DE=m，在Rt△AED中运用勾股定理列方程，求出m的值，再证明∠APO=∠BAC，利用求出PA的长．

【详解】解：（1）证明：∵是的切线

∴，即

∴

∵AC是的直径

∴∠ABC=90°

∴

∴

（2）∵E是OD的中点，且AB⊥OD，

∴AO=AD，

又AO=OD

∴△AOD是等边三角形

∴∠AOD=60°

∵PA是切线，OA是的半径，

∴∠OAP=90°

∴∠APO=30°

∴PO=2AO

在中，∠AOE=60°

∴∠OAE=30°

设OA=R，则

∴

∴

∵四边形的面积是，

∴，即

解得，（负值舍去）

∴

∵

∴

∴

（3）∵

∴

故设BC=m，则AC=3m，

∴

∵OE//BC

∴

在Rt△AEO中，

在Rt△AED中，

∴

∴ (负值舍去)

∴

∵

∴

∴

∴

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．

25. 抛物线（）与轴相交于点，且抛物线对称轴为，为对称轴与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；

（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．

【答案】（1）；（2）4；（3）

【解析】

【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．

（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．

（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．

【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到

抛物线的对称轴为，即，解得

∴抛物线的方程为

（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：

∵是等腰直角三角形

∴，

又∵轴

∴

∴为等腰直角三角形

∴

设，则，

∴

又∵

∴

解得或

当时，，符合题意，

当时，，不符合题意

综上所述：．

（3）设，在抛物线上，则

将代入上式，得

当时，，∴时，最小，即最小

=

当时，，∴时，最小，即最小

，

综上所述

【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．