湖南省名校联盟2023-2024学年高二数学上学期开学摸底考试试题（Word版附解析）

名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试

数学

本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集的运算法则即可得出结果.

【详解】由补集的定义可知，，

故选：A．

2. 已知复数满足（是虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.

【详解】设，可得

因为，所以

解得，所以.

故选：A.

3. 已知R，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若，则，则成立．

而当且时，满足，但不成立；

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

4. 某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5

【答案】B

【解析】

【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.

【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，

由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.

故选：B.

5. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式，可将b，c变形为，，根据余弦函数的单调性，即可求得答案.

【详解】由题意得： ，，

因为在上单调递减，

所以，即．

故选：B

6. 某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（    ）

A. 17.02立方米 B. 17.23立方米 C. 17.80立方米 D. 18.22立方米

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆台的体积公式运算即可，最后要注意单位的换算.

【详解】依题意，设圆台的高为h厘米，

则厘米，

所以圆台的体积为立方厘米，

故需要营养土约为立方米．

故选：C．

7. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.

【详解】由于，且，

则，

整理得，

则，

整理得，

所以.

故选：D.

8. 已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】画出示意图，找出过且跟面平行的平面，其跟面的交线即是的轨迹．

【详解】如图，

分别作的中点G，H，F，连接，

由题可知，

则四边形为平行四边形，

平面BEF，平面，平面；

同理可得平面，∴平面平面，

由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，

线段GH，点P的轨迹为GH，．

故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（    ）

A. 恰有1枚吉祥物邮票的概率为 B. 含有志愿者标志邮票的概率为

C. 至少有1枚会徽邮票的概率为 D. 至多有1枚吉祥物邮票的概率为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据古典概型确定基本事件总数，再逐项判断即可.

【详解】令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．

从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，

恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；

恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；

至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；

至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．

故选：ABD.

10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点O，，，则（    ）

A.

B.

C.

D. 若，，，则·＝

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角形法则的应用，线性运算的应用，数量积运算和平行线分线段成比例即可逐个选项判断.

【详解】对于A选项，，故A错误；

对于B选项，，故B正确；

对于C选项，利用，可得，

则，故C正确；

对于D选项，由，

有

，故D正确．

故选：BCD．

11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 当时，

C. 在上单调递增

D. 不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D.

【详解】，故A错误；

当时，，所以，故B正确；

因为，，又，故C错误；

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，所以不等式的解集为，故D正确.

故选：BD.

12. 如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（    ）

A. 存在某个位置，使得 B. 的长度为定值

C. 四棱锥的体积的最大值为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用反证法说明A，取的中点，连接，，即可判断B，当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，根据锥体的体积公式计算即可判断C，当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，即可判断D.

【详解】因为，假设，又，平面，

所以平面，又平面，所以．

在中，，所以与不可能垂直，故A错误；

取的中点，连接，，如图所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，

所以，，又，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以，故B正确；

当平面平面时，四棱锥的体积最大，

过作的垂线，垂足为，所以，，，，

所以，

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，即是四棱锥的高，

所以，故C正确；

当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，

此时，所以，故D正确．

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若，则的值为______．

【答案】##0.2

【解析】

【分析】利用平面向量共线定理求解.

【详解】解：因为向量，，且，

所以，

解得，

故答案为：

14. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元.

【答案】34

【解析】

【分析】设公司在甲地销售农产品吨，则在乙地销售农产品吨，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可．

【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，，

利润为，

又 且

故当时，能获得的最大利润为34万元．

故答案为：34.

15. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，

所以，解得，即实数m的取值范围是．

故答案为：.

16. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为_________________．

【答案】

【解析】

【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到，再由向量的知识可得，，再利用锐角可得，最后利用函数的单调性可得的取值范围．

【详解】记BC的中点为D，由，G为的重心，可得．

又由，有，

即，

化简可得．

又由为锐角三角形，故，

即，化简可得．

又由．

令，由函数单调递增，

可得，可得．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 在中，角的对边分别为，且的面积为

（1）求角的大小；

（2）若是的一条中线，求线段的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案；

（2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.

【小问1详解】

由题意，可得的面积，

所以，所以，

又，所以.

【小问2详解】

为的中点，则，又，，

所以，

故，即线段的长度为.

18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.

（1）当时，证明：直线平面PAD；

（2）当时，求三棱锥体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）2

【解析】

【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.

（2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.

【小问1详解】

取PD中点N，连接MN、AN，

是的中位线，MN//CD，且，

又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，

ME//AN

又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.

【小问2详解】

，P到平面ABCD距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，

.

19. 居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；

（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；

（3）若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

【答案】（1）24人；   

（2）众数：75分，90%分位数：84分；   

（3）物业公司需要对物业服务人员进行再培训，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）本题考查频率分布直方图每个矩形的意义，即频率，则每个区间人数即可求解；

（2）本问考查频率分布直方图的众数与百分位数的求法，即最高矩形的组中值为众数，左右两边频率之和为0.9与0.1的为90%分位数；

（3）本问考查频率分布直方图平均数的求法，即组中值与频率乘积之和，最后套入公式即可.

【小问1详解】

评分在区间的人数为100×0.04×10＝40（人），

评分在区间的人数为100×0.016×10＝16（人），

故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为40－16＝24（人）；

【小问2详解】

业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，

由，，

设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，

有，解得x＝84，

故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；

【小问3详解】

业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为

55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，

由，

故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．

20. 已知函数在区间上单调，其中，，且．

（1）求的图象的一个对称中心的坐标；

（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.

（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.

【小问1详解】

由函数在区间上单调，

且，可知，

故的图象的一个对称中心的坐标为

【小问2详解】

由点在函数的图象上，

有，又由，

，

可知函数在区间上单调递减，

由函数的图象和性质，

有，

又，有，

将上面两式相加，有，

有，

又由，可得，

则，

又由函数在区间上单调，

有，可得，可得，

故．

21. 已知函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：函数在区间上单调递增；

（3）令（其中），求函数的值域．

【答案】（1）函数为偶函数；（2）证明见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）由函数的定义域为，再判断与的关系即可.

（2）设，再判断的符号即可.

（3）根据，得到，再令，利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

又，

所以函数为偶函数.

（2）证明：设，则，

，

∵，

∴，，，

∴，

故函数在区间上单调递增.

（3）因为，

所以，

由（2）和可知，函数在区间上值域为，

又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为，

令，可得，则，

有，

①当时，，此时函数的值域为

②当时，，时函数的值域为

因为函数和函数的值域一样，

所以当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为.

【点睛】结论点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

22. 在三棱台中,平面,,,,.

（1）证明:.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平面,结合计算得,即,又,,由线面垂直的判定定理得平面,得到,根据线面垂直的判定定理即可证明;

（2）作于,先根据已知条件求出长,再利用等面积法求出到平面的距离即可得到结果.

【小问1详解】

∵平面,平面,

,

平面平面,

平面,

平面,

∴,

∴,

∵,

∴,

∴,

即,

又,,,平面,平面,

∴平面,

∴,

∵,平面,平面,

∴平面,

∵平面,

∴.

【小问2详解】

如图,作于,

在直角梯形中,得,

同理可得,

在等腰梯形中,,

则,

∴,

设到平面距离为,

由,

得,

则,

又,