专项1 有理数—2023年人教版七年级上册数学期末考试复习方案（解析版）

这是一份专项1 有理数—2023年人教版七年级上册数学期末考试复习方案（解析版），共25页。
专项1 有理数
期末复习第一关 学生自主掌控



【知识导图】




【考点梳理】
考点1 正数和负数
比较项目
正数
负数
概念
大于零的数
小于零的数
表示
“+”号可以省略
“-”号不能省略
意义
增加，收入，上升，等
减少，支出，下降，等

考点2 相反数、绝对值和倒数

相反数
绝对值
倒数
定义
只有正负号不同的两个数互为相反数
在数轴上，一个数所对的点到原点的距离叫做这个数的绝对值
乘积为1的两个数互为倒数
法则
的相反数是

的倒数是
性质
1互为相反数的两个数在数轴上表示的点在原点的两侧，到原点的距离相等；2．若互为相反数，则，

1．；2．若，则；
3．若，则
若互为倒数，则


考点3 有理数大小比较
方法
原理
示例
数轴法
在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

口诀法
正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小
∵∴

考点4 有理数的运算
1．有理数的运算法则
有理数的运算
运算法则
示例
加法
1．若，则2． 若，则
3． 若，则
4． 若，则
5．若互为相反数，则
6．





减法


乘法
1． 若，则2． 若，则
3． 若，则
4．若，则



除法


乘方
1．若，；2． 若，；
3． 若，为奇数，则；
4． 若，为偶数，则；



2．有理数的运算律
运算律
加法
乘法
交换律


结合律


分配律



考点5 科学记数法和近似数
1． 在科学记数法中，a和比较
比较项目
a

范围

为正整数
确定
原数只保留一位整数的值
原数整数的位数减去1
2．近似数
（1）按精确度取近似数；（2）按有效数字取近似数.
【基础百练】
1．当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．
故选：C
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则和绝对值化简法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A正确，符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了化简多重符号和化简 ，解题的关键是熟练掌握化简多重符合的法则和化简绝对值的方法．
3．四个有理数，，0，，其中最小的数是（    ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，可得答案．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴其中最小的数是-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
4.我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将21500000用科学记数法表示为，故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上a、b的位置判断a、b的大小和符号，然后据此进行解答即可；
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的运算法则，掌握有理数的基本知识是解题的关键．
6．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题：
甲：
乙：
丙：
丁：
你认为做对的同学是（   ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．乙、丁
【答案】C
【分析】根据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数运算的运算方法．
期末复习第二关 师生思辨疑难



【典例精讲】
11．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？
（2）上午李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？
【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元
【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；
（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；
（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．
【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，
则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：
（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），
所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；
（2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是：
|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），
上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时；
所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；
（3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．
超过3千米的收费总额为：
[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）．
则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．
【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．

（1）求数轴上点B所对应的数b；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；
（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　．
【答案】（1）；（2）或；（3），
【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解；
（2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可；
（3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为
由此可知一个单位长度为
则的距离为
在的右边，∴数轴上点B所对应的数为；
（2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为
由题意可得：，即或
解得或
故答案为或
（3）当时，，
∴

当时，，
∴

当时，，
∴

综上所述的最小值为，的最大值为
故答案为，
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
期末复习第三关 期末必刷考题



【阶段突破练】
一、选择题
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（    ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
2．的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
3．下列各数中，最小的数是（    ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较方法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小，进行比较判断即可．
【详解】这四个数中，2是正数，，是负数，而，，
∴，即最小的数是．
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
4．2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：4.59亿．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
5．如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（    ）
  
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
6．在检测一批足球时，随机抽取4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重角度看，检测的4个足球中最接近标准质量的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
【答案】C
【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解：，
最接近标准，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
7．下列运算结果为正数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的加减乘除以及乘方运算，对选项逐个计算求解即可．
【详解】解：A．，结果为正数，故A选项符合题意；
B．，结果不为正数，故B选项不符合题意；
C．，结果不为正数，故C选项不符合题意；
D．，结果不为正数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及乘方运算，解题的关键是掌握有理数的有关运算法则．
8．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，
，则此项正确，符合题意；
D、，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
9．定义一种新的运算：，则的值为（      ）
A．-5 B．-7 C．5 D．7
【答案】A
【分析】根据题目的定义即可求解．
【详解】解：由题意得：
故选：A
【点睛】本题考查新定义运算．根据题意掌握运算规则即可．
10．把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）
  
A．16 B．9 C．4 D．1
【答案】D
【分析】由“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”即可求解．
【详解】解：由图可得：对角线上的数之和为：

第三行第三列的数字为：
故，


故选：D
【点睛】本题考查了幂．“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”是解题关键．
二、填空题
11．比较大小： （填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】先求出两个负数的绝对值，再根据绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：∵，
而，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，有理数的大小比较法则是：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
12．用四舍五入法把10.8967精确到百分位得到的近似数是 ．
【答案】10.90
【分析】对千分位数字6四舍五入即可．
【详解】解：用四舍五入法把10.8967精确到百分位得到的近似数是10.90，
故答案为：10.90．
【点睛】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
13．若满足，则的值为 ．
【答案】6
【分析】根据，，可求出的值，从而即可求出的值，得到答案．
【详解】解：，，，
，，
解得：，，
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数必也为零．
14．观察下列算式：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的个位数字是 ．
【答案】7
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】已知，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又，
所以的末位数字与的末位数字相同是7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
15．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合．
  
【答案】1
【分析】根据周长为4个单位长度，利用除以4，进而即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
∵由数轴可得：数轴上的对应圆周上的，
∴数轴上的对应圆周上的，
∴将与圆周上的数字1重合，
故答案为：1．
【点睛】本题考查数轴和点表示的数，解题的关键是找到数轴上的数与圆周上的数之间的对应关系．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）原式利用绝对值及加减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可求出值．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，


．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．已知下列各有理数：
(1)在数轴上标出这些数表示的点：
  
(2)用“