学而思初二全册暑假数学讲义
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壮壮出糗记
定 义 | 示例剖析 |
轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 如图，等腰三角形是轴对称图形. 注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点： （1）一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等． （2）轴对称图形的对称轴是一条直线，不是射线也不是线段，在叙述时应注意． （3）轴对称图形的对称轴条数至少有一条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴． |
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两个图形轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如图，与关于直线对称，叫做对称轴.和，和，和是对称点. 注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. | |
轴对称的性质： 1．关于一条直线轴对称的图形全等； 2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分． | |
【例1】 ⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
⑵ 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
⑶ 正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．
⑷ 下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
⑸ 判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
⑹ 已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．③④ C．①② D．①②③④
【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且∠ABE=30°．分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
⑶ 已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点确定的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．腰底不等的等腰三角形 D．等边三角形
定 义 | 示例剖析 |
线段的垂直平分线： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.
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如图，若，，则直线是线段的垂直平分线. |
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
| 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则. |
线段的垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
| 如图，若，则点在线段的垂直平分线上. |
【例3】 ⑴ 如何用圆规与直尺作线段的垂直平分线？
⑵ 证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.
⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.
【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是 ．
⑵ 如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是 ．
⑶ 如下图3，在中，，，，是的中点，求的度数．
【例5】 的两边和的垂直平分线分别交于点、，
⑴若BC=8，求△ADE的周长；
⑵若，求．
定 义 | 示例剖析 |
角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
| 如图，若射线OC是∠AOB的角平分线，则DE=DF． |
角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
| 如图，若DE=DF，则OC是∠AOB的角平分线． |
角平分线的两种基本模型 | |
1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全 已知：，，作于，则． | 2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 已知：，交于， 则为等腰三角形（即）． |
【教师铺垫】证明：
⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．
⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．
⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．
⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．
【例6】 ⑴ 如图，已知的周长是，，分别平分和
，于，且，求的面积．
⑵ 如图所示，，，.
求证：.
【例7】 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，求证：
⑴∠EAD=∠EDA；
⑵DF∥AC；
⑶∠EAC=∠B．
训练1. 为中点，交的平分线于点，于，于.
求证：.
训练2. 已知：如图，及两点、．求作：在平面内找一点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．
训练3. 如图，在中，、分别平分和．
．如果，求的周长．
训练4. 已知：如图，在内部有两点、，．
⑴ 画图并简要说明画法：在射线上取一点，使点到点 和点的距离和最小；在射线上取一点，使点到点和点的距离和最小；
⑵ 直接写出与的大小关系．
知识模块一 轴对称图形的认识与应用 课后演练
【演练1】 ⑴ 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形__________；理由是__________．
⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：
⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（ ）条对称轴．
A．1 B．2 C．3 D．4
⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形
⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
【演练2】 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A．
B．
C．
D．
知识模块二 线段的垂直平分线 课后演练
【演练3】 如图，已知，为的垂直平分线，求的度数．
知识模块三 角平分线性质及常见辅助线模型（一） 课后演练
【演练4】 如图，，，点、分别在、上，若平分．
① 求证：平分；
② 求证：.
【演练5】 证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．
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