四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷

这是一份四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）下列电视台标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（　　）
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
4．（4分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解
5．（4分）下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
6．（4分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为（　　）
A．2 B．9 C．3 D．6
7．（4分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，该班20名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
2
3
6
6
3
则他们捐款金额的中位数是（　　）
A．35 B．20 C．15 D．10
8．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞2
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（　　）

A．AB B．DE C．BD D．AF
10．（4分）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（　　）
A．+＝ B．+20＝
C．﹣＝ D．﹣＝20
11．（4分）平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，1），B（1，2），平移线段AB（3，﹣1），则另一端点的坐标（　　）
A．（1，﹣2） B．（5，0）
C．（1，﹣2）或（5，0） D．（﹣5，0）或（1，﹣2）
12．（4分）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ＝CP；④PB＝PA+PC；⑤当BC⊥BQ时（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题（每小题4分，满分20分）
13．（4分）已知|a+b|+＝0，则2b+a的值是　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连接AD．若AC＝8，BC＝15　 　．

15．（4分）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　 　．
16．（4分）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是 　 　．
17．（4分）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝2，PC＝2.5，则∠APB的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2+4x+2＝0．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中 x＝
20．（8分）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，BC＝15cm，求：
（1）线段BF的长；
（2）线段EC的长．

21．（8分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．

22．（10分）寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元．调查发现，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时
（1）设每千克降价x元，用含x的代数式表示实际销售单价和销售数量；
（2）若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
23．（10分）如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，点E，F分别在AB
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．

24．（10分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
25．（10分）阅读下面的材料，并回答后面的问题．
对于任意一个正的两位数，如果满足其个位上的数字与十位上的数字互不相同，且都不为零，我们把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，这个新两位数与原两位数的和为21+12＝33，因为33÷11＝3（12）＝3．
（1）求f（62）的值；
（2）若“互异数”b满足f（b）＝6，求出所有“互异数”b的值；
（3）如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100（m）+f（n）的值．
26．（10分）（1）在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4．
①如图1，点E，点F分别是AB，求证：△AED≌△BFD；
②如图2，∠EDF＝60°，点E，边BC上，求四边形EDFB的面积；
（2）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝∠EDF＝45°，点F分别在边AB，边BC上，求四边形EDFB的面积．



参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣3|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）下列电视台标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（4分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（　　）
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，
∴a＝8.39，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为4，
∴|x|﹣1＝0，且x+5≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
5．（4分）下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
6．（4分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为（　　）
A．2 B．9 C．3 D．6
【分析】把所求式子利用提公因式法因式分解后，再把x+y＝，xy＝代入计算即可．
【解答】解：∵x+y＝，xy＝，
∴x5y+xy2＝xy（x+y）＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
7．（4分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，该班20名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
2
3
6
6
3
则他们捐款金额的中位数是（　　）
A．35 B．20 C．15 D．10
【分析】中位数是把20个数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数．
【解答】解：把20名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数即为第10个和第11个数分别是20，所以中位数是20．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中位数的知识，将一组数据从小到大排列，若为奇数个数据，中间数是中位数，偶数个数据，则取中间两个数的平均数是中位数，牢固掌握中位数定义是解题关键．
8．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞2
【分析】直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图象得出不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集．
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），
∴5＝﹣2m，
解得：m＝﹣1，
∴关于x的不等式ax+7＞﹣2x＞0的解集是：﹣6＜x＜0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（　　）

A．AB B．DE C．BD D．AF
【分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，依据△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于线段AF的长．
【解答】解：如图，连接CP，
由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，可得△ADP≌△CDP，
∴AP＝CP，
∴AP+PE＝CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，
此时，由AB＝CD，BF＝DE，
∴AF＝CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．

【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
10．（4分）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（　　）
A．+＝ B．+20＝
C．﹣＝ D．﹣＝20
【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm/h，
+＝，
即+＝，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11．（4分）平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，1），B（1，2），平移线段AB（3，﹣1），则另一端点的坐标（　　）
A．（1，﹣2） B．（5，0）
C．（1，﹣2）或（5，0） D．（﹣5，0）或（1，﹣2）
【分析】分两种情形，利用平移的规律求解即可．
【解答】解：当A（﹣1，1）的对应点为（6，B（1，0），
当B（7，2）的对应点为（3，A（﹣3，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
12．（4分）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ＝CP；④PB＝PA+PC；⑤当BC⊥BQ时（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【分析】根据点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC＝60°，可知∠ABP与∠PCQ不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC（SAS），可得PC∥QB，PB＝PQ＝PA+AQ＝PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
【解答】解：∵点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），
∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ＝QB＝PB，AB＝CB＝AC，
∴∠QBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝60°，
∴∠QBA＝∠PBC，
∴△QBA≌△PBC（SAS），
∴AQ＝PC，∠Q＝∠BPC＝∠QBP＝60°，
∴PC∥QB，PB＝PQ＝PA+AQ＝PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，
∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出△QBA≌△PBC是解本题的关键．
二、填空题（每小题4分，满分20分）
13．（4分）已知|a+b|+＝0，则2b+a的值是　　．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+b＝0，
解得a＝﹣，b＝，
所以，8b+a＝2×）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连接AD．若AC＝8，BC＝15　23　．

【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
15．（4分）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　　．
【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+7＝0，b2﹣5b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x5﹣4x+3＝5的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．
16．（4分）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是 　m≥2且m≠3　．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣8，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥5，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，即m≠4，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥6且m≠3．
【点评】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
17．（4分）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝2，PC＝2.5，则∠APB的度数为 　150°　．

【分析】首先证明△PBC≌△EBA，推出PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，所以△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，可得PE＝PB＝1.5，∠EPB＝60°，AE＝PC＝2.5，PA＝2，即可得到△APE为直角三角形，则∠APE＝90°，所以∠APB＝90°+60°＝150°；由此即可解决问题．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．

∴△PBC≌△EBA，
∴PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PE＝PB＝1.5，∠EPB＝60°，
∵AE＝PC＝3.5，PA＝2，
∴PE5+AP2＝AE2，
∴△APE为直角三角形，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°；
故答案为：150°．
【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9个小题，共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2+4x+2＝0．
【分析】（1）先根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣1+（﹣7）+4
＝3+2；
（2）x2+8x+2＝0，
移项，得x4+4x＝﹣2，
配方，得x4+4x+4＝﹣4+4，
（x+2）8＝2，
开方，得x+2＝，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解一元二次方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中 x＝
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，
当x＝﹣8时＝＝1﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，BC＝15cm，求：
（1）线段BF的长；
（2）线段EC的长．

【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质求得AF＝15cm，AB＝12cm，在Rt△ABF中，勾股定理即可求解；
（2）设EC＝xcm，则FC＝6cm，DE＝12﹣x（cm），在Rt△EFC中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB∠B＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，BC＝15cm，
∴AF＝AD＝BC＝15cm，
在Rt△ABF中，
∴cm；
（2）设EC＝xcm，DC＝AB＝12cm由折叠的性质可得DE＝EF＝DC﹣EC＝12﹣x（cm），
在Rt△EFC中，EF7＝EC2+FC2，
∴（12﹣x）5＝x2+67，
解得x＝4.5．
即EC的长为2.5cm．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5为所作，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣2）．

（2）如图，P点坐标为（2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了最短路线问题．
22．（10分）寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元．调查发现，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时
（1）设每千克降价x元，用含x的代数式表示实际销售单价和销售数量；
（2）若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
【分析】（1）由题意：当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．即可得出结论；
（2）由题意：超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：实际销售单价为（40﹣x）元，销售数量为（20+2x）千克；
（2）由题意得：（40﹣x﹣24）（20+2x）＝330，
整理得：x2﹣6x+5＝7，
解得：x1＝1，x5＝5，
∵让顾客得到实惠，
∴x＝5，
答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，点E，F分别在AB
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．

【分析】（1）求出AB＝AC，BD＝DC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC＝∠ACB＝60°，求出BD＝DM，BD＝DC，推出DM＝DC即可；
（3）求出DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE＝∠EDM，同理∠CDF＝∠FDM，进而得出2∠EDF＝∠BDC＝120°．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵BD＝DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线；

（2）
过D作DM⊥EF，连接AD，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，
∴BD＝DM，BD＝DC，
∴DM＝DC，
∴FD平分∠EFC；
（3）
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DF平分∠CFE，
∴DB＝DM，DM＝DC，
在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，
∴∠BDE＝∠EDM，
同理∠CDF＝∠FDM，
∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠EDF＝60°．
【点评】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
24．（10分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值；
（2）已知不等式组利用题中的新定义化简，把a与b的值代入后，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：（1）∵2※3＝5，3※（﹣1）＝10，
∴，
解得：；
（2）∵不等式组，且a＝8，
∴ax﹣b（2x﹣3）+8＝﹣3x+11＜9，4ax+6b+5＝6x+17＜t，
解得：，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴1＜≤4，
解得：20＜t≤23，
∴t的取值范围是20＜t≤23．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
25．（10分）阅读下面的材料，并回答后面的问题．
对于任意一个正的两位数，如果满足其个位上的数字与十位上的数字互不相同，且都不为零，我们把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，这个新两位数与原两位数的和为21+12＝33，因为33÷11＝3（12）＝3．
（1）求f（62）的值；
（2）若“互异数”b满足f（b）＝6，求出所有“互异数”b的值；
（3）如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100（m）+f（n）的值．
【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断，再根据题意，可以计算出f（62）的值；
（2）设“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且x≠y，根据题目中“互异数”的定义，列二元一次方程求解；
（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f（m）+f（n）的值，再判断．
【解答】（1）根据题中条件可得：f（62）＝＝＝8，
∴f（62）的值为8；
（2）设“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，
∴b＝10x+y，对调之后的两位数为10y+x，
∴f（b）＝＝x+y，
∵f（b）＝3，
∴x+y＝6，
∴当x＝1时，则y＝3，
当x＝2时，则y＝4，
当x＝5时，则y＝2，
当x＝5时，则y＝8，
综上所述：“互异数”b的值为15或24或42或51；
（3）∵m、n都是“互异数”，
∴设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），
∴f（m）+f（n）
＝+
＝+
＝x+y+19﹣x﹣y
＝19．
【点评】本题考查因式分解的应用、新定义，明确题意，理解新定义是解题的关键．
26．（10分）（1）在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4．
①如图1，点E，点F分别是AB，求证：△AED≌△BFD；
②如图2，∠EDF＝60°，点E，边BC上，求四边形EDFB的面积；
（2）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝∠EDF＝45°，点F分别在边AB，边BC上，求四边形EDFB的面积．


【分析】（1）①根据菱形性质及∠A＝600，得到△ABD和△BCD均为等边三角形，进而结合点E，点F分别是AB，BC中点，即可找到条件判定△AED≌△BFD（SAS）；
②根据菱形性质及∠A＝600，得到△ABD和△BCD均为等边三角形，结合在四边形EDFB中，∠EDF＝60°，∠ABC＝120°，得到∠BFD＝∠AED，从而判定△AED≌△BFD（AAS），得到S△ADE＝S△BDF，再根据等边三角形性质求得；
（2）连接DB，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥BC于N，找到条件得到△DEM≌△DFN（AAS）以及Rt△DMB≌Rt△DNB（HL），在△ABD中，DM⊥AB，∠A＝45°，AD＝4，则，，在Rt△BMD中，∠BMD＝90°，，，则，．
【解答】（1）①证明：在菱形ABCD中，∠A＝600，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠A＝∠CBD＝60°，AD＝BD，
∵点E，点F分别是AB，
∴AE＝BF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△AED≌△BFD（SAS）；
②解：连接DB，如图所示：

在菱形ABCD中，∠A＝600，
∴∠A＝∠C＝60°，∠ABC＝120°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠A＝∠CBD＝60°，AD＝BD，
在四边形EDFB中，∠EDF＝60°，
∴∠BED+∠BFD＝180°，
∵∠BED+∠AED＝180°，
∴∠BFD＝∠AED，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴S△ADE＝S△BDF，
∴S四边形EDFB＝S△ABD，
在等边△ABD中，过D作DG⊥AB于G

在Rt△ADG中，∠A＝605，AD＝4，
∴，
∴；
（2）解：连接DB，过D作DM⊥AB于M，如图所示：

在菱形ABCD中，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴DN＝DM，
∵∠A＝∠EDF＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
∴在四边形MBND中，∠MDN＝45°，
∵∠MDF+∠FDN＝45°，∠MDF+∠EDM＝45°，
∴∠EDM＝∠FDN，
在△DEM和△DFN中，
，
∴△DEM≌△DFN（AAS），
∴EM＝FN，
在Rt△DMB和Rt△DNB中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNB（HL），
∴S△BDM＝S△BDN，即S四边形EBFD＝S四边形MBND＝2S△DMB，
在△ABD中，DM⊥AB，AD＝4，则，
∴，
在Rt△BMD中，∠BMD＝90°，，，则，
∴．
【点评】本题是四边形的综合题，考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，涉及到等边三角形的判定与性质、四边形内角和、邻补角定义、角平分线性质等知识，掌握菱形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．