备战2024年新高考数学专题训练专题22 函数值的大小比较 综合问题（单选+多选）（新高考通用）

 专题22 函数值的大小比较综合问题（单选+多选）

（新高考通用）

一、单选题

1．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.

【详解】解:由题知构造,,

所以,

故在单调递减,所以,

即,即,即

因为,

构造,,

所以,

即在上单调递增,所以,

即,即,即,

综上:.

故选:D

2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数的单调性证明，即得解.

【详解】解：因为，则，则，所以，从而，所以

故选：A．

3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知，，，则p，q，r的大小关系为（   ）

A． B．

C．  D．

【答案】D

【分析】根据指对互化得出，，，通过化简根据基本不等式得出，即，则再通过对数的单调性得出，即可得出答案.

【详解】，，，

，，，

，

由基本不等式可得：，

则，

，

，则，

，

，

故选：D.

4．（2023·浙江·模拟预测）已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指对互化将，变形得，构造函数，求导验证其单调性，即可得函数值的大小关系，从而可得的大小.

【详解】因为，所以可得，

设函数，则，

，令，则在上恒成立，

所以单调递减，则，所以在上单调递减，

所以，从而.

故选：A．

5．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小.

【详解】由，

，

，

∴，

∴，，

∴.

故选：B.

6．（2023·重庆·统考一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.

【详解】

，则，故函数在单调递减，单调递增，则

则，即

由，∴，故

同理可证

又，∴，则

故选：C.

7．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，，则x，y，z的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小.

【详解】

根据指数与对数的关系和（）为增函数：

，由，即

故

可得，即

综上：

故选：D.

8．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知，，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得出，再判断，，得出结果.

【详解】因为，，且，则，，即；

所以，即，

所以，即.

所以.

故选：B.

9．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.

【详解】,;

;

因为，所以，所以.

综上可得.

故选：A.

10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦函数的单调性比较，由幂函数的单调性比较即可得解.

【详解】在上单调递增，

所以，即，

，，在上单调递减，，

所以，故可得.

故选：A

11．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若，，，，则a，b，c，d中最大的是（    ）

A．a B．b C．c D．d

【答案】C

【分析】先将，，，变换为：，，，，得到，构造函数，，，结合导数和作差法得到，，从而得出，，，中最大值.

【详解】因为，

，

，，所以；

，

设，，

则，当时，，

所以在上单调递增，则，即，

所以，即；

，

设，，

则，当时，，

所以在上单调递增，则，即，

所以，即；

综上：， ，即，，，中最大的是.

故选：C.

12．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.

【详解】因为，所以，所以函数单调递减，

则，

因为函数单调递减，由有： ，

因为函数在上单调递增，由有：，

所以.

故选：C.

13．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断，即可得答案.

【详解】由题意可得，

，，

又，

由于，

故，

综合可得，

故选：A

14．（2023·湖南·模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．

【详解】因为，，

故构造函数，则，

令，解得，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

又因为，，

所以，．

因为，又，

所以，即，故，

故选：A．

15．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再构造可得到，即可得到答案

【详解】设，

则，

令，，

因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，

由，所以，

所以当，所以在上单调递增，

当，所以在上单调递减，

又，，

从而即在上恒成立，

故在上单调递增，

所以，即，

构建，则，

令，则，

当时，，则在单调递增，

所以，即，

故在上单调递增，则，

故在恒成立，

取，可得，

构造，则，

当时，，故在单调递增，

所以，所以当时，

，取，则，

综上所述得：，即.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

对于比较实数大小方法：

（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，

（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再直接计算，从而得到，进而得到；由此得解.

【详解】令，，

则，故在上单调递减，

所以，即，即，故；

因为，，

所以，故，即，即；

综上：.

故选：C.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

17．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指对数函数的性质进行比较大小，比较的大小时要引入中间值，比较的大小时需要作比，即可选出答案.

【详解】因为，

又因为，

所以，

，

所以，

故选：D.

18．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.

【详解】解：因为，所以．

设，则，故在上单调递增．

因为，所以，即．

设，则，当时，，则在上单调递减．

因为，所以，即．

综上．

故选：B

19．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意即可容易比较大小.

【详解】由题可得：，

令，则，

当时，，又，

则，即，故在单调递增，，

则当时，，即，；

令，则，

当时，，又，

则，即，故在单调递减，，

故当时，，即，；

综上所述，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小；处理问题的关键是能够结合已知数据，构造合理的函数，从而利用导数判断其单调性，再根据单调性比较大小，属综合困难题.

20．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知，，，则（    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．b＞c＞a D．c＞b＞a

【答案】A

【分析】对两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案.

【详解】，，两边取对数得：，，，

令，，

则，

令，，

则在上恒成立，

所以在上为增函数，

因为当时，恒成立，

所以在上恒成立，

故在上恒成立，

故在上单调递增，

所以，故，

即，

因为在上单调递增，所以.

故选：A

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的.

21．（2023·山东临沂·统考一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小.

【详解】令，则在R上单调递增，

由，则时，即，而，

∵，

∴.

.

综上：.

故选：B.

22．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知数，构造函数比较a，b大小；构造函数比较a，c大小作答.

【详解】令，当时，，

即函数在上单调递增，则有，因此，即，

令，，有，则在上单调递增，

因此，即，则有，

令，，因此在上单调递增，

即有，则，于是，即，

所以．

故选：D

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

23．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案.

【详解】，，，

令，解得：；令，解得：，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，，，则，，

，，∴，排除D．

，则，，，∴，排除B．

比较与大小，先比较与大小，

,，

因为，所以

所以在在上单调递增，，

所以，所以，

∴，综上.

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案.

24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，可得，再根据，构造函数，比较的大小即可.

【详解】因为，，.

所以.

因为，所以.

构造函数，则，当时，，

所以在上单调递减，则.

因为，所以，

所以，即，

故.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式，对数式，三角式大小，难度较大.本类问题常利用估值和构造函数解决问题，估值时常利用.而构造函数需观察式子间联系，后利用函数单调性可比较式子大小.

二、多选题

25．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由可得，进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.

【详解】可得 ，

时，为递减函数，故，故A正确；

取，则，故B错误；

令时，恒成立，

故在上单调递增，

时，有，故，故C正确；

，，则，

则，又

则，故，故D正确；

故选：ACD.

26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】构造函数，通过函数单调性及，比较出各式的大小关系.

【详解】设函数，易得在上单调递增.

因为，，

，

所以，

即.

故选：ABD

27．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】A选项，由题可得，结合可得b范围；

B选项，，利用可得范围；

C选项，，利用可得范围，后可得范围；

D选项，，结合B选项可得范围.

【详解】A选项，由题可得，得，故A错误；

B选项，

，当且仅当，

即时取等号.故B错误；

C选项，，

当且仅当，即时取等号.

则，故C正确；

D选项，由B选项分析得，

则，故D正确.

故选：CD

28．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断；根据的特征，构造函数，利用其单调性可得，可判断，判断C.

【详解】由于，故为R上单调增函数，

所以，而是上的增函数，故，

所以，A正确；

取满足，但，B错误；

设，则，

由于，故，即是上的增函数，

故，

由于，则，故，C正确；

取，满足，而，故D错误，

故选：

29．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解.

【详解】设，则，

令，则是减函数，

又，当时，，当时是减函数①，

，即，，

考察 ，构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数，

，即，，.

故选：AB.

30．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.

【详解】，，且，

所以，故选项A正确；

，

故选项B正确；

要证，

证，

即证，

由，，且，知，

所以，

故选项C正确；

要证，

即证，

因为，

所以，

前后取得等号条件分别是和，

所以不同时取得等号，故D选项正确；

故选：ACD.