浙江省A9协作体2023-2024学年高二数学上学期暑假返校联考试题（Word版附解析）

浙江省A9协作体暑假返校联考

高二数学试题卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.

4．考试结束后，只需上交答题卷.

第Ⅰ卷

一、单选题

1. 若，则复数的虚部为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法求复数，进而结合虚部的概念分析求解.

【详解】由题意可得：，

所以复数的虚部为1.

故选：B.

2. 如图所示，等腰梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（    ）

A.  B. 12

C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据直观图画出原图，由此计算出的面积.

【详解】在直观图中，，

在原图中，，，

所以平面图形的面积为.

故选：A

3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚骰子奇数面朝上”，事件 “第二枚骰子偶数面朝上”，事件 “两枚骰子向上点数之和为”.则下列结论正确的是（    ）

A. 与对立 B. 与互斥

C.  D. 与独立

【答案】D

【解析】

【分析】根据对立事件、互斥事件、古典概率、相互独立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，事件 “第一枚骰子奇数面朝上”， 事件 “第二枚骰子偶数面朝上”，

两个事件可以同时发生，即“第一枚骰子奇数面朝上，第二枚骰子偶数面朝上”，

所以与不是对立事件，A选项错误.

B选项，事件 “第一枚骰子奇数面朝上”， 事件 “两枚骰子向上点数之和为”，

两个事件可以同时发生，如“第一枚骰子为点，第二骰子为点”，

所以与不是互斥事件，B选项错误.

基本事件的总数为，

事件 “两枚骰子向上点数之和为”，包含的基本事件为：

，共个，所以，C选项错误

事件 “第二枚骰子偶数面朝上”，则，

事件“第二枚骰子偶数面朝上，两枚骰子向上点数之和为”，包含的基本事件为：

，所以，

所以，所以与独立，所以D选项正确.

故选：D

4. 已知向量，，若是在上的投影向量，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算可得，进而结合投影向量的概念运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：C.

5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，，将该三角形绕AC边旋转得一个旋转体，则该旋转体体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，结合圆锥的体积公式运算求解.

【详解】因为，即，

由余弦定理可得，

且，可得，

又因为，，则，

即，解得或（舍去），

如图，将该三角形绕AC边旋转得一个旋转体，则该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，

可得，则，

大圆锥的底面半径为3，高为，体积为，

小圆锥的底面半径为3，高为，体积为，

所以该旋转体体积为.

故选：B.

6. 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（    ）

A. 4 B. 3 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据方差的计算公式求得两组数据的方差，进而求得正确答案.

【详解】设原来的数据为，

平均数为，

方差为

新的数据为，

平均数为，

方差为，

所以.

故选：C

7. 如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ）

A.    B.  

C.      D.        

【答案】D

【解析】

【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项．

【详解】对于A选项，如下图所示，在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以，平面，

同理可证平面，

因为，、平面，所以，平面平面，

因为平面，故平面，故A满足；

对于B选项，如下图所示，连接，

在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，则且，

所以四边形为平行四边形，故，

因为、分别为、的中点，则，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，故B满足；

对于C选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，

连接、、，

因为且，、分别为、的中点，

所以且，故四边形为平行四边形，则，

因为、分别为、的中点，所以，，则，

所以，、、、四点共面，

因为且，则四边形为平行四边形，所以，

因为、分别为、的中点，则，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，故C满足；

对于D选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，

连接、、、、、，

因为且，、分别为、的中点，则且，

所以四边形为平行四边形，则，

因为、分别为、的中点，所以，故，

所以，、、、四点共面，

同理可证，故，同理可得，

反设平面，因为，且平面，则平面，

但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，故D不满足．

故选：D．

8. 五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，，△ADE与都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根据题干信息得到各边长，设出，利用半径列出方程，求出，进而求出半径，外接球表面积.

【详解】连接AC，BD交于点N，因为四边形ABCD为矩形，则点N为矩形ABCD的外接圆圆心，

连接，则平面ABCD，

取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH，

则，，可得，

因为，为等边三角形，则，，

且，平面EFHG，所以平面EFHG，

且平面ABCD，可得平面平面EFHG，

因为平面EFHG，且平面ABCD，所以平面EFHG，

设，

又因为，则，，，

所以EF到平面ABCD的距离为，

设，（若点O与E、F同侧，则，若点O与E、F异侧，则）

则，

设外接球的半径为，

因为，则，

即，解得:，

所以，

所以球O的表面积为.

故选：A.

二、多选题

9. 有一组样本数据，另一组样本数据，其中，c为非零常数，则（    ）

A. 两组样本数据平均数相同 B. 两组样本数据方差相同

C. 两组样本数据中位数相等 D. 两组样本数据极差相同

【答案】BD

【解析】

【分析】根据平均数、中位数、方差，极差的概念及性质逐项分析判断.

【详解】设样本数据的平均数、中位数、方差，极差分别为，

样本数据的平均数、中位数、方差，极差分别为，

因为，且，

对于选项A：可知，且，所以，故A错误；

对于选项B：可知，故B正确；

不妨设

因为，则两组数据相对大小关系不变，

所以，

对于选项C：可知：，且，所以，故C错误；

对于选项D：可知：，，

即，故D正确；

故选：BD.

10. 在复平面内，复数，则（    ）

A. 的模长为1

B. 在复平面内对应的点在第二象限

C.

D. 复数满足，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限、共轭复数、复数乘法、复数模的几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，，A选项正确.

B选项，对应点为，在第一象限，B选项错误.

C选项，，C选项正确.

D选项，设，，表示点与的距离等于，

所以点在以为圆心，半径为的圆上，

由于到原点的距离为，所以以为圆心，半径为的圆经过原点，

所以的最大值等于这个圆的直径，所以D选项正确.

故选：ACD

11. 已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则（    ）

A. 已知，，，若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据空间中线面关系逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若，则，

又因为，，则，可得，

且，所以，故A正确；

对于选项B：例如正三棱柱中，为侧面，为底面，符合条件，

显然底边的棱与侧面不垂直，故B错误；

对于选项C：若则∥，

又因为∥，所以∥，故C正确；

对于选项D：若，则或，故D错误；

故选：AC.

12. 在中，内角所对的边分别为，则（    ）

A 若，则

B. 若，，则最大值为

C. 若，，，则满足条件的三角形有两个

D. 若，且，则为等边三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、向量运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若，如，

，所以A选项错误.

B选项，，

余弦定理得，

，

即，当且仅当时等号成立，

由于三角形中，，所以，

则，又，

即，整理得，

记得，所以的最大值为，所以B选项正确.

C选项，若，，，

则，所以，

所以满足条件的三角形有两个，所以C选项正确.

D选项，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量，

根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线，

由可知的角平分线与垂直，

所以三角形是等腰三角形.

而，所以为锐角，且，

所以三角形是等边三角形.

故选：BCD

【点睛】三角形的面积公式有多种表现形式，如、、海伦公式等等，在解题的过程中，要选取合适的公式来对问题进行求解.在解三角形的过程中，根据三角函数值求角，要注意解的个数是否唯一.

第Ⅱ卷

三、填空题

13. 复数是关于的方程的一个根，则_________．

【答案】3

【解析】

【分析】由根与方程的关系可得，解得即可计算出结果.

【详解】由题意可得，将代入方程可得

，整理得；

由复数概念可得，解得，

所以.

故答案为：3

14. 某人在湖面之上2米处测得空中一气球的仰角为30°，且测得湖中气球倒影的俯角为60°，若不考虑水的折射和球的体积，则气球离水面的高度为______米．

【答案】4

【解析】

【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.

【详解】结合题意作出示意图，易知点与点关于湖面对称，则，，，，

故，

在中，，即，在中，，，

故，则，即，

故，

所以气球离水面的高度为4.

故答案为：4.

15. 在中，内角所对应的边分别为，，，，则的长为______．

【答案】

【解析】

分析】根据倍角公式结合正、余弦定理运算求解.

【详解】因为，则，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可得：，即，

整理得，解得，

所以的长为.

故答案为：.

16. 已知三棱锥中，，且与平面所成角余弦值为，当取得最大值时，二面角的正弦值为______．

【答案】##0.6

【解析】

【分析】利用二面角的定义结合导数研究函数的最值解三角形即可.

【详解】 

如图所示，作于E点，连接，作于F点，

因为面，

所以面，面，即，，

又面，即面，

故与平面所成角为，即，

①先讨论F在线段DE上时，不妨设，

则，

易知，

设，

令，可得，

即在上单调递增，

令，即此时函数单调递减，

故当时，取得最大值，

又易知二面角的平面角为，此时.

②如图所示，当F位于DE延长线上时，同①，不妨设，

则，

易知，

设，

令，可得恒成立，

即在上单调递减，则无最值；

故答案为：.

四、解答题

17. 已知向量与的夹角为，且，是单位向量.

（1）分别求和的值；

（2）若与共线，求.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用数量积的定义求解，根据求解；

（2）由向量共线，结合平面向量基本定理列出方程组求解.

【小问1详解】

，

.

【小问2详解】

若与共线，则存在，使得，

即，又因为向量与不共线，

所以，解得，所以.

18. 杭州年第届亚运会将于年月日至月日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）试根据频率分布直方图求出这名学生中成绩低于分的人数；

（2）试估计这名学生成绩的第百分位数；

（3）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．

【答案】（1）18人    （2）82.5   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解；

（2）由百分位数的定义直接计算即可；

（3）根据分层抽样，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图中数据可知：

【小问2详解】

成绩小于80的频率为，成绩在的频率为，因为，

所以这名学生成绩的第百分位数在内，

所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为.

【小问3详解】

因为成绩在，，的学生人数所占比例为3:2:1，

所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人.

记抽取成绩在3人为，成绩在 为.

，共15种，

抽取的2人成绩都在的是，共3种，

抽取的人成绩都在的概率为.

19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）若，，的角平分线交BC于D，求AD的长．

【答案】（1）；   

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；

（2）先利用余弦定理可得，再结合面积关系运算求解.

【小问1详解】

因为，由正弦定理可得：，

且，

即，

又因为，则，可知，可得，

又因为，所以.

【小问2详解】

由余弦定理可得，即，

则，且，解得：，

根据面积关系可得，

即，

解得：．

20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求证：平面平面．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先证得平面，然后利用线面平行的性质定理来证得.

（2）通过证明平面来证得平面平面．

【小问1详解】

因为底面是正方形，所以，

平面，平面，所以平面，

又因为平面与交于点，平面，

平面平面， 所以．

【小问2详解】

侧面为等腰直角三角形，且，即，，

因为，，且两直线在平面内，可得平面，

因为平面，则．

又因为，，且两直线在平面内，

则平面，

因为平面，则，

因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.

又因为，所以为等腰直角三角形，

因为平面，

所以平面，因为平面，所以面平面.

21. 如图，在中，，，点D，E分别在AB，AC上且满足，，点F在线段DE上．

（1）若，求；

（2）若，且求；

（3）求的最小值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）设，，跟向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理列式求解；

（2）先用表示，再根据垂直关系可求得，进而可得结果；

（3）取中点，根据题意分析可得，可知在上的垂足为F时，最小，运算求解即可.

【小问1详解】

点F在线段上，则，使得，

则，可得，

又因为，，则，

可得，解得，所以.

【小问2详解】

由（1）可知：，

则，，

由题意可知：，则，

因为，即，

可得

即，整理得，解得或，

又因为，所以，

即，则，所以.

【小问3详解】

在中，由余弦定理可求得，所以，

取中点，则，

因为，

可知若最小，即最小，

因为，则，

由，，则为等边三角形，可得，

根据中位线可知，∥，则，

在中，根据余弦定理可得，所以，

则，且，可知为锐角，

又因为，故过作的高线时，垂足点落在线段上，

由题意可知：当垂足点为F时，最小，最小值为，

所以的最小值为.

22. 如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.

（1）当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值；

（2）在翻折过程中，求二面角的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在图1中，可得，进而可证面BCD，即是直线与平面所成角，运算求解即可；

（2）根据垂直关系分析可得是二面角的平面角，设，可得，结合三角恒等变换可得，进而可得结果.

【小问1详解】

在图1中，连接交于点，

则，

可知，可得，

则，，

因为平面平面BCD，平面平面，平面，

所以面BCD.

则是直线与平面所成角，所以.

【小问2详解】

如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.

由（1）可知：，，，平面，

则平面，且平面，可得.

且，，平面，所以平面.

由平面，可得.

且，，平面，所以平面，

由平面，可得，

所以是二面角的平面角，

设，

由（1）可知：，

在直角三角形中，，则，

因为，则，可得，所以，

在直角三角形中，.

设，则，

即，解得，当时，等号成立，

所以，

又因，则，

所以二面角的最大值为.