九年级数学上册第一次月考试卷（附答案）

这是一份九年级数学上册第一次月考试卷（附答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学上册第一次月考试卷（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
2．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）2＝175
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
4．抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，0）
5．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
6．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
7．抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．2
9．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．

10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 　 　．
12．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　．
13．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 　 　．
14．已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，x1＝﹣1，则x1x2﹣2m＝　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为　 　．

16．若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是　 　．
三、解答题
17．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0．
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．
（3）x2+4x﹣5＝0．
18．二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5），
（1）求函数y＝ax2+c的表达式．
（2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．
20．如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
22．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？

23．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．

24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”　 　；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．


参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+＝2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
2．解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：B．
3．解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝﹣2x2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选：B．
5．解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
6．解：由题意可得：，
∴a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
7．解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣1，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
8．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，
∴a+b＝8，ab＝14．
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，
∴c＝6．
故选：C．
9．解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，
故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
10．解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
二、填空题（共18分）
11．解：由题意得：
3x2﹣6＝21，
3x2＝27，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3，
∴x的值为3或﹣3，
故答案为：3或﹣3．
12．解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
13．解：设每个支干长出小分支的个数是x，
依题意得：1+x+x2＝241，
整理得：x2+x﹣240＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出小分支的个数是15．
故答案为：15．
14．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，x1＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣3，
把x1＝﹣1代入得：x2﹣1＝﹣m，﹣x2＝﹣3，
解得：m＝﹣2，x2＝3，
则原式＝﹣3+4＝1．
故答案为：1．
15．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y＝3时，＝3，
解得x＝±3，
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．
故答案为6．
16．解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，
∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；
②x2﹣4x+m＝0，
∴Δ＝16﹣4m≥0，即m≤4，
∴x2＝2+，
x3＝2﹣，
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4．
三、解答题
17．解：（1）a＝1，b＝﹣3，c＝1，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
x﹣2＝0或3x+2＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣；
（3）（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
18．解：（1）将A（1，﹣1），B（2，5）代入y＝ax2+c得：，
解得：，
则二次函数解析式为y＝2x2﹣3；
（2）将x＝﹣2，y＝m代入二次函数解析式得：y＝m＝5，即C（5，﹣2）；
将x＝n，y＝7代入二次函数解析式得：7＝2n2﹣3，即n＝±，即D（，7）或（﹣，7）．
19．解：（1）Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，
4（m+1）2﹣4m2+4＞0，
8m＞﹣8，
m＞﹣1，
则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，
x1+x2+x1x2＝5，
﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，
m2﹣2m﹣8＝0，
（m﹣4）（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣2，
∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴△≥0，
∴m≥﹣1，
∴m＝4．
20．解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
21．解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．
（x+5）2﹣22＝5，
（x+5）2＝5+22．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，
故答案为：5、±2、﹣2、﹣8；

（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．
（x﹣1）2﹣42＝6，
（x﹣1）2＝6+42．
x﹣1＝±，
∴x＝1±，
直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．
22．解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．
答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）个，
依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，
整理得：x2﹣36x+128＝0，
解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
23．解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则
×（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则
×（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
△＝25﹣32＝﹣7＜0，
所以，此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8cm2．
24．（1）解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，
∴取a＝3，b＝4，c＝5，
∴3x2+5x+4＝0是勾系一元二次方程（答案不唯一），
故答案为：3x2+5x+4＝0．

（2）证明；ax2+cx+b＝0，
∵Δ＝（c）2﹣4ab
＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；

（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，
∴a﹣c+b＝0，即a+b＝c，
∵四边形ACDE的周长是6，
∴2a+2b+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∴（a+b）2＝8，
∴a2+2ab+b2＝8，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝×2＝1．