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    广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

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    这是一份广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

     

    广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1地到地要经过地,已知从地到地有三条路,从地到地有四条路,则从地到地不同的走法种数是(  )

    A B C D

    2已知函数的图象如图所示,设函数的平均变化率为,从的平均变化率为,则的大小关系为(  )

    A B C D.不确定

    3若数列满足:,且,则前项和为(  )

    A B C D

    4设函数的导函数为,若,则(  )

    A B C D

    5甲、乙、丙、丁、戊、己人站成一排拍合照,要求甲必须站在中间两个位置之一,且乙、丙人相邻,则不同的排队方法共有(  )

    A B C D

    6种不同颜色给图中的四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,共有种不同的涂色方案.(  )

    A B C D

    7已知抛物线的焦点为,抛物线上一点到点的距离为,则点到原点的距离为(  )

    A B C D

    8已知是定义在上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则下列不等式成立的是(  )

    A B

    C D

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    9定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示,以下结论正确的是(  )

    A的一个极小值点

    B都是的极大值点

    C的单调递增区间是

    D的单调递减区间是

    10某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是(  )

    A.若任意选择三门课程,则选法种数为

    B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为

    C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为

    D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为

    11的展开式中,下列说法正确的是(  )

    A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等

    C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为

    12已知函数,则(  )

    A的值域为

    B.直线是曲线的一条切线

    C图象的对称中心为

    D.方程有三个实数根

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    13曲线处的切线方程为       

    14900的正因数有       .(用数字作答)

    15写出与直线,和圆都相切的一个圆的方程              

    16展开式中含项的系数为       

    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    17的展开式中,求:

    1)第4项的二项式系数;

    2)常数项.

    18已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,且成等差数列,

    1)求数列的通项公式;

    2)设,求数列的前项和

    19如图,在直三棱柱中,的中点.

    1)求点到平面的距离;

    2)求二面角的正弦值.

    20某服装厂主要从事服装加工生产,依据以往的数据分析,若加工产品订单的金额为万元,可获得的加工费为万元,其中

    1)若,为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,则该企业加工产品订单的金额单位:万元应在什么范围内?

    2)若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元,已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额,试问在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损.

    21已知函数

    1)求曲线在点处的切线方程;

    2)求的单调区间和极值;

    3)若关于的方程有唯一的实数根,直接写出实数的取值范围.

    22已知椭圆经过点,且离心率为

    1)求椭圆的方程;

    2)设直线与椭圆相交于两点,求的值.


    答案解析部分

    1【答案】C

    【知识点】分类加法计数原理

    【解析】【解答】从地到地不同的走法种数是 :(种),
    故选:C.
    【分析】根据 地到地走法,地到地 走法,根据分布计数原理计算可得到答案.

    2【答案】C

    【知识点】二次函数的性质;变化的快慢与变化率

    【解析】【解答】


    【分析】利用平均变化率公式求解即可.

    3【答案】D

    【知识点】数列的求和

    【解析】【解答】


    项和为
    故选:D.
    【分析】根据已知,分别求出前5项,再求和.

    4【答案】C

    【知识点】导数的四则运算

    【解析】【解答】



    故选:C.
    【分析】根据导数的性质求解即可.

    5【答案】C

    【知识点】简单计数与排列组合

    【解析】【解答】甲在第三个位置,
    乙、丙 相邻并且在甲的左侧,
    种;
    乙、丙 相邻并且在甲的右侧,
    种;
    甲在第四个位置时,
    乙、丙 相邻并且在甲的左侧,
    种;
    乙、丙 相邻并且在甲的右侧,
    种;
    共有:
    故选:C.
    【分析】排列组合,分类求解即可.

    6【答案】A

    【知识点】分步乘法计数原理

    【解析】【解答】涂A,有5种颜色可选,
    B,有4种颜色可选,
    C,有3种颜色可选,
    D,有3种颜色可选,
    根据分布乘法计数原理可知,
    一共有种涂色方案,
    故选:A.
    【分析】用分布乘法计数原理进行分析即可.

    7【答案】D

    【知识点】抛物线的简单性质

    【解析】【解答】解:设
    焦点坐标
    到点的距离为



    解得:负数舍去不符合题意,

    到原点的距离为 :.
    故选:D.
    【分析】根据距离公式求出P点坐标即可.

    8【答案】B

    【知识点】函数恒成立问题

    【解析】【解答】根据不等式恒成立,




    单调递增,
    A单调递增,选项错误,不等式不成立;
    B单调递增 ,选项正确,等式不成立;
    C单调递增,选项错误,不等式不成立;
    D单调递增,选项错误,不等式不成立;
    故选:B.
    【分析】根据题意可得,构造,判断单调性,逐项判断即可.

    9【答案】A,C,D

    【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质

    【解析】【解答】 A时,时,的一个极小值点,选项正确;

     B,不是的极值点,选线错误;

     C时,的单调递增区间是,选项正确;

     D时,的单调递减区间是,选项正确;

     故选:ABD.
    【分析】根据函数的单调性和极值,逐项判断是否正确.

    10【答案】A,C,D

    【知识点】排列、组合的实际应用

    【解析】【解答】 A、若任意选择三门课程,则选法种数为,选项正确;

     B、若物理和化学至少选一门,则选法种数为,选项错误;

     C、若物理和历史不能同时选,则选法种数为,选项正确;

     D、若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为,选项正确.

    故选:ACD.
    【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理逐项判断即可.

    11【答案】A,C

    【知识点】二项式定理;二项式系数的性质

    【解析】【解答】A、常数项是,选项正确.

     B、第四项系数,第六项系数,第四项和第六项的系数不相等,故选项错误;

     C、当时,各项的二项式系数之和为,选项正确;

     D、当时各项的系数之和为1,选项错误;
    故选:AC.

     【分析】根据二项式定理可得, 的通项公式是,逐项判断即可.

    12【答案】B,C,D

    【知识点】函数的值域;利用导数研究曲线上某点切线方程

    【解析】【解答】A、当时,

    ,当时等号成立,
    时,
    ,当时等号成立,选项错误;

    的值域为

     B、根据,得,图像在点的切线方程是,得,图像在点处的切线方程是,直线是曲线的一条切线.


    C的对称中心是,所以的对称中心是,向右平移1个单位得,对称中心是 ,选项正确;
    D,解得,当,得1个实根,当,得,或者2个实根,共有3个实根,选项正确.
    故选:BCD.
    【分析】当时,或者时判断函数的范围,利用导数求出切线,判断B,利用平移得出函数的中心.

    13【答案】

    【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

    【解析】【解答】
    曲线的导数为

    处的切线方程为:


    故答案为:.
    【分析】求出导数,代入 求出斜率,再得到点斜式方程即可.

    14【答案】27

    【知识点】分步乘法计数原理

    【解析】【解答】
    使用分步计数原理,分三步,
    第一步计算,有三种情况,
    第二步计算,有三种情况,
    第三步计算,有三种情况,

    故答案为:27.
    【分析】因为,设 900的正因数有,按分布计数原理可得.

    15【答案】

    【知识点】圆的标准方程;圆的切线方程

    【解析】【解答】解:设圆的方程为
    和直线相切可得:
    和圆相切可得:
    时,

    圆的方程为:.
    故答案为:
    【分析】根据切线的性质,表示出,求值即可,答案不唯一.

    16【答案】-60

    【知识点】二项式系数的性质

    【解析】【解答】


    故答案为:.
    【分析】根据二项式定理求出即可.

    17【答案】1)解:

    所以第项的二项式系数为

    2)解:令

    所以常数项为

    【知识点】二项式定理;二项式系数的性质

    【解析】【分析】(1) 根据二项式定理求出第四项系数即可.
    (2) 根据二项式定理第三项,x约分去掉,为常数项求解即可.

    18【答案】1)解:由题意,设等比数列的公比为

    成等差数列,

    ,即

    整理,得

    解得舍去,或

    解得

    2)解:由(1)可得,

    两式相减,

    可得

    【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和

    【解析】【分析】(1)根据成等差数列,求出公差,再求出.
    (2) (1)可得,,两式相减,求出通项公式.

    19【答案】1)解:在中,由余弦定理得:

    平面

    建系如图,则根据题意可得:

    设平面的法向量为

    ,取

    到平面的距离

    2)解:设平面的法向量为

    ,取

    设平面的法向量为

    ,取

    设二面角对应的平面角为

    【知识点】平面的法向量;点、线、面间的距离计算;用空间向量研究直线与平面所成的角

    【解析】【分析】(1)中,由余弦定理得求出,勾股定理求出,建系,写出坐标,表示出向量,设平面的法向量为,根据法向量求出距离.
    (2) 设平面的法向量为,求出法向量,设平面的法向量为,求出,求出,再求出正弦值.

    20【答案】1)解:设加工费用为,则

    若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,则

    即该企业加工产品订单的金额单位:万元应在范围内;

    2)解:令,该企业加工生产将不会出现亏损,即

    ,则

    ,则

    所以上单调递减,且

    上恒成立,故

    所以当时,该企业加工生产将不会出现亏损.

    【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性

    【解析】【分析】(1)设加工费用为,则,求出导数,若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,求出取值范围.

    (2),根据题意该企业加工生产将不会出现亏损,求出,令,则,令,则上单调递减,求出即可.
     

    21【答案】1)解:函数,求导得,则

    ,由直线点斜式方程得:

    所以曲线在点处的切线方程为

    2)解:函数的定义域为,由

    时,,当时,

    所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为

    函数处取得极小值,在处取得极大值

    3)解:由(2)知,函数上单调递增,在上单调递减,,恒有

    时,递减,恒有,因此,而函数内的值域为

    因此函数内的值域为,函数的大致图象如图,

    方程的实数根,即函数的图象与直线交点的横坐标,

    观察图形知,当时,函数的图象与直线有一个公共点,

    所以关于的方程有唯一的实数根,

    实数的取值范围是

    【知识点】函数的单调性及单调区间;利用导数研究曲线上某点切线方程

    【解析】【分析】(1) 函数,求导得,则,根据点斜式求出方程.
    (2)函数的定义域为,由,当时,,当时,,确定单调区间和极值.
    (3)由(2)知,函数上单调递增,在上单调递减,,恒有,当时,递减,恒有,因此,而函数内的值域为,因此函数内的值域为,方程的实数根,即函数的图象与直线交点的横坐标,确定实数的取值范围是.

    22【答案】1)解:因为椭圆经过,且离心率为

    所以,解得

    故椭圆的方程为

    2)解:设

    联立,得

    所以

    【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质

    【解析】【分析】(1)根据椭圆经过,且离心率为,解得,求出椭圆方程.
    (2) ,直线方程与椭圆方程联立求出,根据向量运算法则求出即可.

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