广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
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广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.从地到地要经过地,已知从地到地有三条路,从地到地有四条路,则从地到地不同的走法种数是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象如图所示,设函数从到的平均变化率为,从到的平均变化率为,则与的大小关系为( )
A. B. C. D.不确定
3.若数列满足:,且,则前项和为( )
A. B. C. D.
4.设函数的导函数为,若,则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊、己人站成一排拍合照,要求甲必须站在中间两个位置之一,且乙、丙人相邻,则不同的排队方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6.用种不同颜色给图中的、、、四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,共有种不同的涂色方案.( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线:的焦点为,抛物线上一点到点的距离为,则点到原点的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示,以下结论正确的是( )
A.是的一个极小值点
B.和都是的极大值点
C.的单调递增区间是
D.的单调递减区间是
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是( )
A.若任意选择三门课程,则选法种数为
B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为
C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为
11.在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等
C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为
12.已知函数,则( )
A.的值域为
B.直线是曲线的一条切线
C.图象的对称中心为
D.方程有三个实数根
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.曲线在处的切线方程为 .
14.900的正因数有 个.(用数字作答)
15.写出与直线,,和圆都相切的一个圆的方程 .
16.展开式中含项的系数为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.在的展开式中,求:
(1)第4项的二项式系数;
(2)常数项.
18.已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,且,,成等差数列,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.如图,在直三棱柱中,,,,,为的中点.
(1)求点到平面的距离;
(2)求二面角的正弦值.
20.某服装厂主要从事服装加工生产,依据以往的数据分析,若加工产品订单的金额为万元,可获得的加工费为万元,其中.
(1)若,为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,则该企业加工产品订单的金额单位:万元应在什么范围内?
(2)若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元,已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额,试问在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损.
21.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间和极值;
(3)若关于的方程有唯一的实数根,直接写出实数的取值范围.
22.已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于,两点,求的值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】从地到地不同的走法种数是 :(种),
故选:C.
【分析】根据 地到地走法,地到地 走法,根据分布计数原理计算可得到答案.
2.【答案】C
【知识点】二次函数的性质;变化的快慢与变化率
【解析】【解答】∵,
,
∴
【分析】利用平均变化率公式求解即可.
3.【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】∵,
∴,
∴,,
∴前项和为,
故选:D.
【分析】根据已知,分别求出前5项,再求和.
4.【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】∵,
∴,
∴,
∴,
故选:C.
【分析】根据导数的性质求解即可.
5.【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】甲在第三个位置,
乙、丙 相邻并且在甲的左侧,
有种;
乙、丙 相邻并且在甲的右侧,
有种;
甲在第四个位置时,
乙、丙 相邻并且在甲的左侧,
有种;
乙、丙 相邻并且在甲的右侧,
有种;
共有:,
故选:C.
【分析】排列组合,分类求解即可.
6.【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】涂A,有5种颜色可选,
涂B,有4种颜色可选,
涂C,有3种颜色可选,
涂D,有3种颜色可选,
根据分布乘法计数原理可知,
一共有种涂色方案,
故选:A.
【分析】用分布乘法计数原理进行分析即可.
7.【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解:设,
焦点坐标,
∵到点的距离为 ,
∴,
,
解得:负数舍去不符合题意,
∴,
点到原点的距离为 :.
故选:D.
【分析】根据距离公式求出P点坐标即可.
8.【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】根据不等式恒成立,
∴,
设,
,
∵,
∴单调递增,
A:单调递增, ,选项错误,不等式不成立;
B:单调递增, ,选项正确,等式不成立;
C:单调递增, ,选项错误,不等式不成立;
D:单调递增, ,选项错误,不等式不成立;
故选:B.
【分析】根据题意可得,构造,判断单调性,逐项判断即可.
9.【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质
【解析】【解答】 A、时,,时,,是的一个极小值点,选项正确;
B、和,不是的极值点,选线错误;
C、时,,的单调递增区间是,选项正确;
D、时,,的单调递减区间是,选项正确;
故选:ABD.
【分析】根据函数的单调性和极值,逐项判断是否正确.
10.【答案】A,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】 A、若任意选择三门课程,则选法种数为,选项正确;
B、若物理和化学至少选一门,则选法种数为,选项错误;
C、若物理和历史不能同时选,则选法种数为,选项正确;
D、若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为,选项正确.
故选:ACD.
【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理逐项判断即可.
11.【答案】A,C
【知识点】二项式定理;二项式系数的性质
【解析】【解答】A、常数项是,选项正确.
B、第四项系数,第六项系数,第四项和第六项的系数不相等,故选项错误;
C、当时,各项的二项式系数之和为,选项正确;
D、当时各项的系数之和为1,选项错误;
故选:AC.
【分析】根据二项式定理可得, 的通项公式是,逐项判断即可.
12.【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A、当时,
,当时等号成立,
当时,
,当时等号成立,选项错误;
的值域为
B、根据,,得,,图像在点的切线方程是,得,,图像在点处的切线方程是,直线是曲线的一条切线.
C、的对称中心是,所以的对称中心是,向右平移1个单位得,对称中心是 ,选项正确;
D、 ,解得,,当,得,,1个实根,当,得,或者,2个实根,共有3个实根,选项正确.
故选:BCD.
【分析】当时,或者时判断函数的范围,利用导数求出切线,判断B,利用平移得出函数的中心.
13.【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】∵,
∴曲线的导数为,
∴,,
∴在处的切线方程为:
,
,
故答案为:.
【分析】求出导数,代入 求出斜率,再得到点斜式方程即可.
14.【答案】27
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】,
使用分步计数原理,分三步,
第一步计算,有三种情况,
第二步计算,有三种情况,
第三步计算,有三种情况,
,
故答案为:27.
【分析】因为,设 900的正因数有,按分布计数原理可得.
15.【答案】
【知识点】圆的标准方程;圆的切线方程
【解析】【解答】解:设圆的方程为,
∴和直线相切可得:,
和圆相切可得:,
当时,
,
圆的方程为:.
故答案为:
【分析】根据切线的性质,表示出,求值即可,答案不唯一.
16.【答案】-60
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】,
,
,
故答案为:.
【分析】根据二项式定理求出即可.
17.【答案】(1)解:,
所以第项的二项式系数为.
(2)解:令,.
所以常数项为.
【知识点】二项式定理;二项式系数的性质
【解析】【分析】(1) 根据二项式定理求出第四项系数即可.
(2) 根据二项式定理第三项,x约分去掉,为常数项求解即可.
18.【答案】(1)解:由题意,设等比数列的公比为,
,,成等差数列,
,即,
,,
整理,得,
解得舍去,或,
又,
,
解得,
,.
(2)解:由(1)可得,
,
,
,
两式相减,
可得,
,
,
.
【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据,,成等差数列,求出公差,再求出.
(2) 由(1)可得,,两式相减,求出通项公式.
19.【答案】(1)解:在中,由余弦定理得:
,,,
又平面,
建系如图,则根据题意可得:
,,,
,,,
,,,
,,,,
设平面的法向量为,
,取,
点到平面的距离;
(2)解:设平面的法向量为,
则,取,
设平面的法向量为,
,取,
,
设二面角对应的平面角为,
.
【知识点】平面的法向量;点、线、面间的距离计算;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在中,由余弦定理得求出,勾股定理求出,建系,写出坐标,,,表示出向量,,,设平面的法向量为,根据法向量求出距离.
(2) 设平面的法向量为,求出法向量,设平面的法向量为,求出,求出,再求出正弦值.
20.【答案】(1)解:设加工费用为,则,
,
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,则,
,
,
,
即该企业加工产品订单的金额单位:万元应在范围内;
(2)解:令,该企业加工生产将不会出现亏损,即,
,
,
令,则,
令,则,
所以在上单调递减,且,
在上恒成立,故,
,
,
所以当时,该企业加工生产将不会出现亏损.
【知识点】函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)设加工费用为,则,求出导数,若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长,求出取值范围.
(2)令,根据题意该企业加工生产将不会出现亏损,求出,令,则,令,则,在上单调递减,求出即可.
21.【答案】(1)解:函数,求导得,则,
而,由直线点斜式方程得:,
所以曲线在点处的切线方程为
(2)解:函数的定义域为,由知,
当或时,,当时,,
所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为,
函数在处取得极小值,在处取得极大值.
(3)解:由(2)知,函数在上单调递增,在上单调递减,,恒有,
当时,递减,恒有,因此,,而函数在内的值域为,
因此函数在内的值域为,函数的大致图象如图,
方程的实数根,即函数的图象与直线交点的横坐标,
观察图形知,当或时,函数的图象与直线有一个公共点,
所以关于的方程有唯一的实数根,
实数的取值范围是.
【知识点】函数的单调性及单调区间;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 函数,求导得,则,根据点斜式求出方程.
(2)函数的定义域为,由知,当或时,,当时,,确定单调区间和极值.
(3)由(2)知,函数在上单调递增,在上单调递减,,恒有,当时,递减,恒有,因此,,而函数在内的值域为,因此函数在内的值域为,方程的实数根,即函数的图象与直线交点的横坐标,确定实数的取值范围是.
22.【答案】(1)解:因为椭圆经过,且离心率为,
所以,解得,,
故椭圆的方程为.
(2)解:设,,
联立,得,
所以,,
则
.
【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆经过,且离心率为,解得,,求出椭圆方程.
(2) 设,,直线方程与椭圆方程联立求出,,,根据向量运算法则求出即可.
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