2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式求解.

【详解】.

故选：A

2．已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

【答案】C

【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又复数z为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，即可求出实数b的值.

【详解】复数，

又复数z为纯虚数，则有，解得.

故选：C.

3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为120°，则的大小为（    ）

A． B． C．2N D．3N

【答案】B

【分析】由三力平衡，知，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解．

【详解】由题意知，

所以，

所以

故选：B．

4．《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.

【详解】由题意可知：，，

所以.

故选：A.

5．若，，的面积为，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】由条件结合三角形面积公式求，再由余弦定理求.

【详解】由三角形面积公式可得的面积，

又，，

所以，

由余弦定理可得，

又，，，

所以，

所以，

故选：C.

6．在平行四边形ABCD中，，，，则（    ）

A． B．3 C．4 D．6

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理得到，，利用向量数量积公式求出.

【详解】因为，所以为中点，

由题意得，，

所以，

设，则，代入上式中得，，

解得.

故选：D

7．已知，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用诱导公式化简已知式和求值式，求值式变形有后用二倍角公式计算．

【详解】由题意，

所以，

所以

．

故选：B．

【点睛】本题考查诱导公式与二倍角公式求值．解题关键是对“单角”和“复角”的相对性的理解与应用．本题中用诱导公式化简和用二倍角公式求值，都是把作为一个“单角”进行变形参与运算，而不是作为两个角的和．

8．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．

【详解】在中，由正弦定理可得，

∴， .

故选：B.．

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查诱导公式．本题考查关键是利用正弦定理把三角函数值与黄金分割比联系起来，得．

二、多选题

9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A．复数的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限

C．若，则 D．若复数z满足，则

【答案】ABD

【分析】根据复数运算求，由此确定其虚部，判断A，根据复数的几何意义确定其对应点，判断B，举反例，判断C，根据复数的运算，结合条件判断D.

【详解】对于A，因为，故复数的虚部为，A正确；

对于B，复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限，B正确；

对于C，取，则，

又，故，C错误；

对于D，设，则，

因为，所以，故，D正确；

故选：ABD.

10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．，则为等腰三角形

C．若，则为钝角三角形

D．

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理角化边推理判断A；利用正弦定理边化角推理判断B；利用和角的正切推理得并判断C；利用正余弦定理、二倍角的余弦推理判断D作答.

【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得，所以，A正确；

对于B，由及正弦定理，得，于是，

由，得或，即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；

对于C，在中，由，

得，因此中有且只有一个为负数，

所以中有一个为钝角，即为钝角三角形，C正确；

对于D，在中，由余弦定理得，

由正弦定理得

有，

于是，

整理得，D正确.

故选：ACD

11．下列四个等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A，利用余弦二倍角公式求解，对于B，通分后利用两角差的正弦公式化简，对于C，将化简后，代入计算即可，对于D，利用两角和的正切公式化简计算.

【详解】对于A，，所以A错误，

对于B，

，所以B正确，

对于C，因为，

所以

，所以C正确，

对于D，因为，

所以，

所以

，所以D正确，

故选：BCD

12．已知为所在平面内一点，则下列正确的是（    ）

A．若，则点在的中位线上

B．若，则为的重心

C．若，则为锐角三角形

D．若，则与的面积比为

【答案】ABD

【分析】设中点为，中点为，由可得，可知A正确；

设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确；

由知为锐角，但无法确定，知C错误；

根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确.

【详解】对于A，设中点为，中点为，

，，

，即，三点共线，

又为的中位线，点在的中位线上，A正确；

对于B，设中点为，由得：，

又，，在中线上，且，

为的重心，B正确；

对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；

对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，

，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在几何中的应用问题，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的应用等知识；本题解题关键是能够根据平面向量线性运算将已知等式进行转化，确定点的具体位置及其满足的性质.

三、填空题

13．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是      ．

【答案】

【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.

【详解】解：由题意可知，，则对应的复数是.

故答案为：.

14．如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则      ．

【答案】7

【分析】建立合适的直角坐标系，写出相关向量，根据题意得到方程组即可得到答案.

【详解】建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，

可得，同理可得，

，

将方程组中两式相加,可得.

故答案为：7.

15．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则      ．

【答案】/1.75

【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．

【详解】如图，连接，

∵为的中点，为对角线的中点，

，，

∴四边形为平行四边形，

，，

，，

故答案为：

四、双空题

16．在中，已知，．锐角，满足．

①当，      ；

②当取最小值时，      ．

【答案】     /    

【分析】由条件可知，，展开后利用三角恒等变形，

转化为的二次函数，即可求解；第二问可知，

，展开后利用三角恒等变形，得到

，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解.

【详解】由题意可知，，则，，

，，，

，则,，

时，，

则，

，

两边同时除以，并且，

得，

化简为，得或（舍），

所以；

，两边同时除以，

得，

，，，,

化简为，则，

，

设，则，

则，

当时，即时等号成立，

此时，，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）2；（2）．

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可；

（2）利用同角三角函数的基本关系与余弦的和差角公式求解即可

【详解】（1）因为，为锐角，则，，，

则，，

而．

（2）由，得：

，，

则．

18．已知为虚数单位.

（1）计算：；

（2）若，求复数.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据复数的运算性质计算即可；（2）设，求出，的值，求出即可．

【详解】（1）.

（2）设，

则由，得，

则解得或

则或.

19．已知是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，且与垂直，求与的夹角.

【答案】(1)或.

(2).

【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；

（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.

【详解】（1）解：设，因为，所以．①

又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．

（2）解：由，得，

又，解得，所以，

所以与的夹角.

20．如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求边的长．

【答案】（1）（2）6

【分析】(1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应系数相等，即可求出结果；

（2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可.

【详解】解：（1）因为，所以，

所以，所以，

（2）因为，

，

所以，

设，因为，

所以，又因为，

所以，

化简得，

解得(负值舍去)，所以的长为6．

【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求解，难度不大.

21．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．

(1)若，求角C；

(2)设点D满足，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量数量积的定义可得，结合余弦边角关系有，进而确定a，b，c的关系，应用余弦定理求角C；

（2）由（1）知是顶角为的等腰三角形，且，根据且，应用向量数量积的运算律求得，即可得.

【详解】（1）由，即，故，

所以，整理得，

由余弦边角关系得，则，

所以，即，则，

由，，故.

（2）由（1）易知：是顶角为的等腰三角形，且，

且，则，

所以，而，故.

22．在平面凸四边形中，，，．

(1)当四边形内接于圆O时，求四边形的面积；

(2)当四边形的面积最大时，求对角线的长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理，结合求出角，再利用三角形面积公式求解作答.

（2）结合余弦定理和面积公式得，进而得，再由三角函数性质得当时，有最大值，再借助余弦定理求解作答.

【详解】（1）连接，如图，

由余弦定理得：，

及，

于是，又四边形内接于圆，即，

因此，化简可得，又，解得，

于是，

所以四边形的面积.

（2）设四边形的面积为，则，

又，

于是，即，

平方相加得，即，又，

则当时，有最大值，即有最大值，此时，解得，

又，于是，

在中，，即，

所以对角线的长为.

【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.