江苏省兴化市2022-2023学年高二下学期期中数学试题

2022－2023学年度第二学期期中考试

高二数学试卷

（考试用时：120分钟  总分：150分）

注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．计算式可表示为（    ）

A． B． C． D．

2．从7本不同的书中任意选取2本，不同的选法种数为（    ）

A．84 B．42 C．30 D．21

3．已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（    ）

A． B． C． D．

4．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（    ）种方案．

A．3 B．6 C．30 D．60

5．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

6．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去A、B、C三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到A基地的排法总数为（    ）

A．6 B．12 C．18 D．36

7．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，的展开式中含x的项的系数为12，则的展开式中含的项的系数的最小值是（    ）

A．18 B．25 C．27 D．30

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．在正方体中，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（    ）

A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125

B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375

C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70

D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72

11．已知，下列结论正确的有（    ）

A．  B．

C． D．

12．数列，中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，被4除所得余数为3

C．当时，被5除所得余数为3 D．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若，则正整数______．

14．在空间直角坐标系中，已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则______．

15．的展开式中的系数为______．（用数字作答）．

16．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生，则店主共有______种选择方式（用数字作答）．

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算（写出计算过程，结果用数字作答）：

（1）； （2）．

18．从6名男生和5名女生中选出4人去参加某项大赛．

（1）如果要求4人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？

（2）如果男生甲和女生乙最多只能选1人，那么有多少种选法（用数字作答）？

19．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．

（1）分别用，，来表示向量，；

（2）若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值．

20．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：

（1）正整数n的值；

（2）展开式中的系数；

（3）含x的整数次幂的项的个数．

21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，，，点E是PA的中点，F为线段PB上一点且．

（1）若，求PD的长；

（2）若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为，求直线PC与平面DEF所成角的正弦值．

22．已知数列的首项为1，设，．

（1）若为常数列，求的值；

（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；

（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．

2022－2023学年度第二学期期中考试数学参考答案

1．C  2．D  3．A  4．B  5．A  6．B  7．B  8．C

9．ABD  10．ABD  11．AD  12．ACD

13．11  14．1  15．70  16．348

17．【解】（1）原式

（2）原式

18．【解】（1）若只选男生，则有种选法；

若只选女生，则有种选法．

故如果要求4人中男生和女生都要有，那么有种选法．

（2）若选了男生甲没选女生乙，则有种选法，

若选了女生乙没选男生甲，则有种选法，

若男生甲和女生乙都没选，则有种选法，

故男生甲和女生乙最多只能选1人共有种选法

19．【解】（1），

（2）因为，，两两垂直，所以，

又因为，同理

所以

记直线PM与BN所成角为，则有

20．【解】（1）由已知得二项展开式的通项为

因为第9项为常数项，所以当时，，即，解得

（2）由（1）知，

令，得，所以的系数为．

（3）要使为整数，只需k为偶数，由于，，

因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．

21．【解】（1）因为侧棱底面ABCD，ABCD是长方形，

所以以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

设，则因为点E是PA的中点，所以，

因为F为PB上一点且，所以．

，，于是，

解得，所以．

（2）由平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．

设是平面DEF的法向量．

，，

令，得，，所以是平面DEF的一个法向量，

若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为，

则，解得．

所以，，

所以直线PC与平面DEF所成角的正弦值是．

22．【解】（1）因为为常数列，所以．

，所以．

（2）因为为公比为2的等比数列，．

所以．

所以，故．

（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，

设公差为d，则

相加得

所以．

所以恒成立，

即，恒成立，所以

故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．