2022-2023学年内蒙古自治区巴彦淖尔市高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区巴彦淖尔市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可

【详解】由，得，所以，

由，得，所以，

所以.

故选：D

2．某圆台上底面和下底面的面积分别为4，9，高为3，则该圆台的体积为（    ）

A．19 B．19π C．57 D．57π

【答案】A

【分析】由圆台的体积公式即可求解.

【详解】记圆台上底面和下底面的面积分别为，高为，

则圆台的体积.

故选：A

3．复数的虚部为（    ）

A．5 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由复数，则复数的虚部为.

故选：B.

4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意求得，由正弦定理计算即可．

【详解】由题意，则，

由及正弦定理得，所以.

故选：B.

5．已知为平面外一点，则下列判断错误的是（    ）

A．过点只能作一个平面与平行 B．过点可以作无数条直线与平行

C．过点只能作一个平面与垂直 D．过点只能作一条直线与垂直

【答案】C

【分析】利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可.

【详解】过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；

平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；

平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；

平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.

故选：C.

6．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数周期公式求出，利用图象平移规律得出答案.

【详解】由题意得，则，

将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

所以.

故选：B.

7．已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由向量垂直求出，从而结合数量积坐标公式及投影向量的公式求解即可.

【详解】因为向量，，所以，解得，

则，则，

所以在方向上的投影向量为.

故选：C

8．如图，为了测量古塔的高度，选取了与该塔底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得古塔顶端的仰角为，在点测得古塔顶端的仰角为，则古塔的高度（    ）

（参考数据：取）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别将用表示，再在中，利用余弦定理即可得解.

【详解】由题意得，

则在和中，

，

在中，由余弦定理得，

即，解得.

故选：C.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A．的模长为

B．在复平面内对应的点在第四象限

C．为纯虚数

D．在复数范围内，是方程的一个解

【答案】BCD

【分析】化简，利用共轭复数的概念及模长公式判断A；利用复数的几何意义判断B；利用纯虚数的概念判断C；解方程判断D.

【详解】因为，所以，A错误；

在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，B正确；

为纯虚数，C正确；

，得，即，

则是方程的一个解，D正确.

故选：BCD.

10．已知一组数据的平均数为，中位数为，方差为，众数为，数据的平均数为，中位数为，方差为，众数为，则（    ）

A． B．无法确定 C． D．

【答案】AD

【分析】根据两组数据的关系，结合平均数、中位数、方差、众数的性质分析即可.

【详解】由，

所以

故A正确；

由的中位数为，

则的中位数是在的基础上乘以加上1得到，

故为，故B选项错误；

由方程的性质可得的方差为，

则的方差为，

故C选项错误，

若的众数为，

则的众数为，

故D正确，

故选：AD.

11．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为2π B．为奇函数

C．在区间上单调递增 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】，则的最小正周期，故A错，

又，所以为奇函数，故B正确，

令,解得，所以的单调递增区间为，令，得的其中一个单调递增区间为， 故C正确，

当时，取最小值为，故D正确.

故选：BCD.

12．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，记事件“关于的方程无实根”，事件”，事件“”，事件“20”，则（    ）

A．与互斥 B．与对立

C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】BCD

【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.

【详解】由题意得，

，，

包含36个样本点.

由，得，

所以，，，，共包含30个样本点，，，共包含6个样本点，与不互斥，故选项错误；

又，，

共包含18个样本点，，共包含6个样本点，所以与对立，故选项B正确；

选项C，因为，

所以，故与相互独立，故选项C正确；

选项D，因为，所以，故与相互独立，故选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则      .

【答案】/

【分析】根据向量平行的坐标表示求解.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：.

14．将三组数据绘制成如下的折线图，则这三组数据中，      组数据的方差最小．

【答案】

【分析】根据折线图可计算得到三组数据平均数相同，根据数据波动程度可得到结论.

【详解】组数据的平均数均为，

组数据相对于平均数的波动程度最小，组数据的方差最小.

故答案为：.

15．若，则      .

【答案】

【分析】利用两角差的正切公式求得，再结合二倍角的正切公式，即得解.

【详解】由，得，

所以.

故答案为：.

16．已知为所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为          .

【答案】

【分析】由题意可得当三棱锥的体积最大时，平面.将三棱锥补成三棱柱，设底面外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，从而可得，根据正弦定理可得，再结合勾股定理可得，再根据球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意得为锐角，，所以只有一解，即的面积为定值.

所以当三棱锥的体积最大时，平面.

如图，将三棱锥补成三棱柱，设底面外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，则为底面外接圆的半径，为三棱锥外接球的半径.

由，得，由，得.

因为平面，则，所以.故该三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：

四、解答题

17．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值以及女生被抽取的人数；

(2)估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.

【答案】(1)，45

(2)86.67

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得的值，结合分层抽样的分法，求得女生被抽取的人数；

（2）根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得，其中女生被抽取的人数为.

（2）解：由频率分布直方图可得：，，

所以分位数位于区间，则分位数为.

18．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线EF与所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，，又可证得四边形为平行四边形，则，从而，即可证得结论；

（2）因为，所以异面直线与所成的角即直线与所成的角，在中求解即可.

【详解】（1）如图，连接.

∵，分别是，的中点，∴，

∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，∴异面直线与所成的角即直线与所成的角.

∵，∴为正三角形，

∴异面直线与所成角的大小为.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知.

(1)求角C的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，进而利用余弦定理可得结果；

（2）由（1）可知，利用三角形面积公式得，可求得，从而得解.

【详解】（1）在中，由，

得，即，

由余弦定理得，

又，所以.

（2）因为，所以，

又因为，所以，

所以，则，

故的周长为.

20．已知函数且在区间上的最大值是2.

(1)求的值；

(2)若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分和两种情况利用对数函数单调性列方程可求出的值；

（2）由函数的定义域为，可得，再结合（1）可求出，然后利用指数函数的单调性可求出的取值范围.

【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，

因此当时，函数取得最大值2，即，因此.

当时，函数在区间上是增函数，

当时，函数取得最大值2，即，因此.

故或.

（2）因为的定义域为，

所以，则，即，

代入不等式，得，

则，解得，因此的取值范围是.

21．甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮.第一轮甲、乙两人各自先从“经典红歌”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给该人加1分，没猜对不加分，也不扣分.第二轮甲、乙两人各自再从“流行歌曲”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给该人加2分，没猜对不加分，也不扣分.已知甲猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为，猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为.乙猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为，猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率；

(2)求“梦想队”恰好获得4分的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别计算甲、乙猜对一首、两首歌曲歌名的概率，进而可得解；

（2）分别计算甲、乙获得1分、2分、3分的概率，进而可得解.

【详解】（1）甲猜对一首歌曲歌名的概率为，

甲猜对两首歌曲歌名的概率为，

乙猜对一首歌曲歌名的概率为，

乙猜对两首歌曲歌名的概率为，

故“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率为.

（2）甲获得1分的概率为，

甲获得2分的概率为，

甲获得3分的概率为，

乙获得1分的概率为，

乙获得2分的概率为，

乙获得3分的概率为，

故“梦想队”恰好获得4分的概率为.

22．如图，在正三棱锥中，分别为的中点，分别为的中点.

(1)证明：.

(2)若，且四棱锥的体积为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，取的中点，连接，则，可证明平面得到平面，进而可得结论；

（2）连接，取上更靠近的三等分点，连接，设，则，根据四棱锥的体积为，求出，再利用等积变换求点到平面的距离.

【详解】（1）如图，连接，取的中点，连接.

分别为的中点，分别为的中点，

.

.

平面平面平面.

平面.

（2）连接，取上更靠近的三等分点，连接，设，则.

由（1）可得，梯形的面积等于，.

.

由正三棱锥性质可得底面.

，

.

又，，得.

，

.

设到平面的距离为，由，

得，得.