2022-2023学年青海省西宁市高一下学期期末调研测试数学试题含答案

2022-2023学年青海省西宁市高一下学期期末调研测试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将坐标代入中计算结果.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：A

2．复数z在复平面内对应的点是，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出z，再进行的计算.

【详解】∵复数z在复平面内对应的点是，∴

∴

故选：A.

【点睛】(1)复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根；

(2)复数除法实际上是分母实数化的过程．

3．下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．10

【答案】B

【分析】首先可得一共有场比赛得分，再根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】解：依题意可知一共有场比赛得分，

其中，所以第百分位数为第个数为；

故选：B

4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，则与所成的角和与所成的角相等

【答案】C

【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D．

【详解】解：A．时，中存在直线（过的平面与的交线都与平行），，则，又，则，所以，A正确；

B．，，与无公共点，则，B正确；

C．，，时，与可以平行，相交，C错误．

D．由线线平行的性质知时，与所成的角相等，时由面面平行的性质知与所成的角相等，因此D正确．

故选：C．

5．管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ）

A．2800 B．1800 C．1400 D．1200

【答案】C

【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.

【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，

由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，

所有池塘中有标记的鱼的概率为：，

又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，

所以，解得，

即估计该池塘内共有条鱼.

故选：C.

6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

7．如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（    ）

A．0.504 B．0.994 C．0.996 D．0.964

【答案】C

【解析】根据题意可知，当三个开关都不正常工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式即可求出．

【详解】由题意知，所求概率为．

故选：C．

【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题．

8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可.

【详解】连，相交于点，连、，

因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，

不妨设正方形中，，则，由平面，可得，

则，，

因为，为的中点，所以，．

故选：C.

【点睛】方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

二、多选题

9．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（    ）

A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色

C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色

【答案】ABD

【分析】列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.

【详解】解：6张卡片中一次取出张卡片的所有情况有：

“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，

选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，

其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.

故选：ABD.

10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则有一解

B．若，，，则无解

C．若，，，则有两解

D．若，，则有两解

【答案】BC

【分析】利用正弦定理和三角形中大边对大角，依次判断选项.

【详解】由得，此时三角形显然不存在，错误；

由正弦定理得，则，显然角B不存在，B正确；

由正弦定理得，

所以，

因为，所以，

故或，正确；

若，，则为等边三角形，唯一确定，D错误．

故选：BC

11．下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若为虚数单位，n为正整数，则

【答案】AC

【分析】对于AB，根据充要条件的定义结合复数的概念分析判断，对于CD，通过计算判断

【详解】对于A，当复数是实数时，，当时，是实数，

所以复数是实数的充要条件是，所以A正确，

对于B，当复数是纯虚数时，且，当且时，复数是纯虚数，

所以复数是纯虚数的充要条件是且，所以B错误，

对于C，设，则，所以，所以C正确，

对于D，若为虚数单位，n为正整数，则，所以D错误，

故选：AC

12．在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（    ）

A．存在点N，使得

B．三棱锥M—的体积等于

C．有且仅有两个点N，使得平面

D．有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为

【答案】ABC

【分析】对A，取N为的中点时判断即可

对B，根据计算即可；

对C，取分别为中点可得平面，平面判断即可；

对D，根据正方体的性质可知与平面，平面均垂直，且被两平面平分为3段可得点四点到平面的距离为

【详解】对于A，当N为的中点时，易得，又，故，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故C正确；

对于D，易证平面，平面，分别交平面，于，则，所以有点四点到平面的距离为，故D错．

故选：ABC

三、填空题

13．欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为      .

63 01 63 78 59   16 95 55 67 19   98 19 50 71 75   12 86 73 58 07   44 39 52 38 79

33 21 12 34 29   78 64 56 07 82   52 42 07 44 38   15 51 00 13 42   99 66 02 79 54

【答案】

【分析】根据随机数表法的读取规则，读取第4个被抽取的样本的编号.

【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，19（重复划掉），50，……，第4个被抽取的样本的编号为50.

故答案为：50.

14．已知向量，，则向量在方向上的投影为      .

【答案】

【解析】利用向量在向量方向上的公式计算可得答案.

【详解】向量在方向上的投影为.

故答案为：．

15．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于         米.

【答案】

【分析】先求得，再利用余弦定理求得.

【详解】，

，

在三角形中，

由余弦定理得米.

故答案为：

16．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是          ．

【答案】

【分析】将该堑堵补充成长方体，求长方体外接球体积即可.

【详解】将该堑堵补充为一个长方体，如图，

则该堑堵的外接球即为长方体的外接球，

设长方体的体对角线为，则，

所以，所以外接球的体积为，

故答案为: .

四、解答题

17．已知向量，，.

（1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件；

（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．

(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．

【详解】（1）已知向量，，，

若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.

，，

故知，

∴实数时，满足条件.

（2）若为直角三角形，且为直角，则，

∴，

解得.

【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．

18．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因事故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50，60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80，90)的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；

(3)若规定：90分(包含90分)以上为优秀，现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．

【答案】（1）25人；（2）0.016；（3）

【分析】（1）由频率分布直方图能求出分数在[50，60）的频率，由茎叶图得分类在[50，60）的人数，由此能求出全班人数．（2）由茎叶图能求出分数在[80，90）之间的频数，由此能求出频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高．(3)利用古典概型的概率公式解答.

【详解】解：(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08.

由茎叶图知，分数在[50，60)的频数为2，所以全班人数为.

(2)分数在[80，90)的频数为25－2－7－10－2＝4，

频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为.

(3)由(2)可知分数在[80，100)的人数为4＋2＝6.

设分数在[80，90)的试卷为A，B，C，D，分数在[90，100]的试卷为a，b.

则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，

分别是AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，

其中至少有一份优秀的事件共有9个，

分别是Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，

∴在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率为.

【点睛】本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，考查古典概型的概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

19．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：

(1)E､F､G､H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）证明出即可；

（2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明.

【详解】（1）∵，∴.

∵E，F分别为AB，AD的中点，∴，且，

∴，∴E，F，G，H四点共面.

（2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴，∴，

由（1）知，故EFHG为梯形.

∴EG与FH必相交，设交点为M，

∴平面ABC，平面ACD，

∴平面ABC，且平面ACD，

∴，即GE与HF的交点在直线AC上.

20．从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.

(1)求角的大小；

(2)若，且 ，求的值及的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由已知条件结合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ；

(2) 若选①, 则可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果.

【详解】（1）因为 ,

由正弦定理得 ,

即 ,

得 ,

又 ,

所以 .

（2）选择①时: ,

故,

根据正弦定理 ,

故 ,

故 .

若选②:

由 及正弦定理 ,

得 ,

解得 ,

所以 .

根据正弦定理 , 得 ,

故 .

21．如图，正四棱锥中．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理证明平面PAC⊥平面PBD；

（2）先作出二面角的平面角，再去求其余弦值即可．

【详解】（1）设点O是AC与BD的交点，连接PO，

则由正四棱锥得：AC⊥BD且PO⊥面ABCD

又∵面ABCD，∴PO⊥BD，又∵，

∴BD⊥面PAC，又∵面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD

（2）过点O作OE⊥PC交PC于点E，连接BE，

由（1）知BD⊥平面PAC，平面PAC，

∴BD⊥PC，又∵OE⊥PC，且

∴PC⊥平面BOE，又∵平面BOE，∴PC⊥BE

则BEO是二面角BPCA的平面角．

设，，则

在Rt△POC中，，，得，

在Rt△BOE中，∴

故二面角的余弦值为．

22．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，边上的中线长为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，从而解得；

（2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，即可求出，再检验即可.

【详解】（1）解：因为，，且，

所以，

由正弦定理可得，

由，所以，又为锐角，所以.

（2）解：在中，，

所以，

即，整理得，

解得（舍去）或.

此时，，，为等边三角形，符合题意，故.