2022-2023学年福建省福州市福清市高中联合体高一下学期期末质检数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州市福清市高中联合体高一下学期期末质检数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】先求出，根据模的公式得出结果．

【详解】由得，所以，

故选：B．

2．从，，，，中任取个不同的数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】从，，，，中任取个不同的数的可能结果有，，

，，，，，，，共个，

其中两个数之和是的倍数的有，，共个结果，

所以取出的两个数之和是的倍数的概率.

故选：C

3．在中，点为BC边上一点，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点，然后结合平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可得到结果．

【详解】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点E，

∵，∴，

∴，∴，

∴，

∴

故选：C．

4．甲、乙两所学校的男、女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1000，乙校学生总数为900，下列结论错误的是（    ）

A．甲校男生比乙校男生多 B．乙校女生比甲校女生少

C．甲校男生比乙校女生少 D．乙校男生比甲校女生少

【答案】A

【分析】根据统计图分别计算两校男生和女生的人数，即可得答案．

【详解】甲校男生的人数为，甲校女生的人数为，

乙校男生的人数为，乙校女生人数为.

所以甲校男生比乙校男生少，故A错误；

乙校女生比甲校女生少，故B正确；

甲校男生比乙校女生少，故C正确；

乙校男生比甲校女生少，故D正确.

故选：A．

5．已知，，如果，那么（    ）

A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7

【答案】C

【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.

【详解】由于，所以.

故选：C.

6．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分别求出圆柱的上底面面积、侧面积以及圆锥的侧面积，相加即可得答案．

【详解】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，

圆柱的上底面面积

圆柱的侧面积

圆锥的母线长，则圆锥的侧面积

故该几何体的表面积．

故选：B．

7．瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为17.3m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为，瑞云塔的高度约为（    ）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m

【答案】B

【分析】由题意，由直角三角形的性质，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，进而在Rt△MNC中，求出MN的大小．

【详解】在Rt△ABC中，，由题意可得，

由图知，，

所以，

在△AMC中，由正弦定理可得：

即，解得

在Rt△MNC中，如图可得

故选：B．

8．在中，，，，则（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】D

【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律及平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】在中，，所以，又，，

所以

故选：D

二、多选题

9．设一组样本数据，，，的平均数为2，方差为0.01，则数据，，，的（    ）

A．平均数为5 B．平均数为7 C．标准差为0.2 D．标准差为0.1

【答案】BC

【分析】由题意，根据平均数和方差的变化规律即可得到另一组数据的平均数和方差，进而可得标准差．

【详解】已知一组样本数据的平均数为2，方差为0.01，

则数据的平均数，

方差，标准差

故选：BC．

10．已知是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则最大的边c的取值可能是（    ）

A．4.5 B．5 C．6 D．6.5

【答案】CD

【分析】根据余弦定理结合三角形两边之和大于第三边分析判断

【详解】由题意可得，所以，

所以，

因为在三角形中两边之和大于第三边，所以，

所以，

所以选项AB错误，CD正确，

故选：CD

11．设向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．在上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】根据向量坐标运算，可求得的坐标，结合向量模的计算，可判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；根据向量垂直的坐标表示判断C；根据向量的投影向量的定义可求出在上的投影向量判断D.

【详解】由题意可知，，故，A正确；

因为，故不平行，B错误；

因为，故，C正确；

由于，，

故在上的投影向量为，D正确，

故选：ACD

12．已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，且，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球，则（    ）

A．三棱锥的表面积为 B．球的表面积为

C．球的体积为 D．球的半径为

【答案】BD

【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，求出其半径，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球的半径可判断D.

【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，

∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，

又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，

∵PB面PBM，∴AC⊥PB，

∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，

∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，

∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，

∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，

从而得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，

则正三棱锥中，，

三棱锥的表面积为，故A错误；

正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，其半径

球的表面积为，故B正确；

球的体积，故C错误；

设球的半径为，则，

即，则，故D正确．

故选：BD．

【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：

（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则（为三条棱的长）；

（2）若面，，则（为外接圆半径）；

（3）可以转化为长方体的外接球；

（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．

三、填空题

13．某公司生产三种型号汽车，A型汽车200辆、B型汽车400辆、C型汽车1400辆．为检验该公司的产品质量，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取B型汽车      辆．

【答案】20

【分析】求出抽样比，利用分层随机抽样方法得出结果．

【详解】∵抽样比为，

∴应抽取B型汽车辆．

故答案为：20．

14．假设，，且与相互独立，则      ．

【答案】0.92/

【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得.

【详解】事件与相互独立，则，

由并事件的概率公式.

故答案为：0.92.

15．已知，，，则向量与的夹角为      ．

【答案】/

【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，最后根据夹角公式计算可得.

【详解】因为，所以，

又，，所以，即，

即，所以，

所以，又，

所以，即向量与的夹角为.

故答案为：

四、双空题

16．如图，在正四棱柱中，，点E，F，G分别为棱，，的中点，则异面直线EF与BG所成的角的大小为      ；二面角的正切值为      ．

【答案】     /    

【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标，利用异面直线所成角和二面角的空间向量求法，即可求解．

【详解】建立空间直角坐标系，设，

则，

，

则，

又，所以，则面直线EF与BG所成的角为；

设平面EAB的法向量为，

则，即，

令，则，则，

又，

设平面ABF的法向量为，

则，即，

令，则，则，

，

设二面角的大小为，为锐角，

，，

∴二面角的正切值为．

故答案为：

五、解答题

17．已知复数．

(1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；

(2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解；

（2）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

【详解】（1）在复平面内的对应点为，

因为点位于第二象限，所以，解得．

所以的取值范围为．

（2）因为为纯虚数，所以，解得，

所以，所以，，

∴点，，∴,

所以．

18．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点．将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．

(1)求证：平面PEF；

(2)若，且K为PD的中点，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）由题意求得，由（1）知PD⊥平面PEF，求得，根据K为PD的中点，即可求解．

【详解】（1）在正方形ABCD中，，，

折叠后即有，，

又因为，平面PEF，所以平面PEF；

（2）由题意知，，故，

由（1）知平面PEF，

故；

因为为PD的中点，

所以三棱锥的体积．

19．将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点．

(1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率；

(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由．

【答案】(1)，

(2)这种游戏规则不公平，理由见解析

【分析】（1）根据题意，得到抛掷一枚质地均匀的正方体骰子共有36个样本点，利用列举法得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）利用古典摡型的概率计算公式和概率的加法公式求得甲胜的概率，比较即可得到结论.

【详解】（1）解：依题意，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点，

其中事件，即事件包含6个样本点，

所以事件的概率为．

又由事件，

即事件中包含11个样本点，所以事件的概率为．

（2）解：设事件“为偶数”，事件，

事件，

可得，

因为事件与事件互斥，且，

所以．

因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，

所以，故这种游戏规则不公平．

20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;

（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）根据正弦定理及，

得.

∵，

∴.

∵，

∴.

（2）由（1）知，又，

由余弦定理得，

即，

∵，

∴，即，

当且仅当时取等号.

∴.

∴的最大值为.

21．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市为了制定合理的节水方案，需要了解全市居民用水量分布情况．通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，若已知样本数据落在区间的频数为20．

(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；

(2)用样本频率估计总体，若该市有60万居民，市政府希望使51万的居民每月的用水量不超过标准，试估计的值，并说明理由．

【答案】(1)

(2)，理由见解析

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合题意，进而求得样本容量；

（2）解法1：根据频率分布直方图，求得前5组和前6组的频率，得到，结合题意，列出方程，即可求解；

解法2：根据题意，得出 ，即可求解；

解法3：根据频率分布直方图，求得前5组和前6组的频率，得到85%分位数位于区间，结合百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：，解得，

因为样本数据落在的频数为，所以样本容量为.

（2）解法1：因为60万居民中有51万不超过标准，即有85%的居民的用水量不超过标准．

由样本数据得，前6组的频率之和为，

前5组的频率之和为，

可得，

又由，解得．

因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为2.9t时，约有51万的居民每月的用水量不超过标准．

解法2：因为60万居民中有51万不超过标准，即有85%的居民的用水量不超过标准．

根据题意，可得，

解得，

因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为2.9t时，约有51万的居民每月的用水量不超过标准．

解法3：因为60万居民中有51万不超过标准，即有85%的居民的用水量不超过标准．

由样本数据得，前6组的频率之和为，

前5组的频率之和为，

因此，85%分位数一定位于区间，

，可以估计85%分位数约为，

因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为2.9t时，约有51万的居民每月的用水量不超过标准．

22．如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且．

(1)是否存在实数，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(2)设，，，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围．

【答案】(1)存在；

(2)

【分析】（1）解法一：连接，，设，，则利用平行关系和比例关系可证得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；解法二：连接交于点，连接GD，利用三角形中位线定理和平行四边形性质可证得四边形为平行四边形，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）过点作∥交于点，由已知先证得平面，再可得平面，则为DE与平面所成角，然后在中求解即可.

【详解】（1）解法一：存在实数，使得∥平面．

理由如下：

如图，连接，，设，，

因为，∥，，

所以，∥，所以，

因为为AB的中点，∥，，

所以，∥，所以，

所以，所以∥，

又因为平面，平面，所以∥平面；

解法二：存在实数，使得∥平面．理由如下：

如图，连接交于点，连接GD，在直三棱柱中，四边形为矩形，所以点为的中点，

因为为棱AB的中点，所以∥，，

又因为∥，，

所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，

又因为平面，平面，

所以∥平面；

（2）因为，，，所以，所以，

过点作∥交于点，则，，

又因为，所以，

因为，平面，所以平面，

所以为DE与平面所成角，

设，在中，，

所以，

即DE与平面所成角的正弦值的取值范围为．