2022-2023学年天津市朱唐庄中学高一下学期3月阶段性测试数学试题含答案

2022-2023学年天津市朱唐庄中学高一下学期3月阶段性测试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再根据交集的定义可求.

【详解】，故，

故选：A.

2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，再由，即可得到答案.

【详解】由于是边上的中点，则.

.

故选：B.

3．已知向量，且，则x＝（　　）.

A．8 B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】由向量垂直得到方程，求出的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故选：A

4．若向量，，且与共线，则的值是（    ）

A．3 B．0 C． D．3或

【答案】D

【分析】利用向量共线定理即可得出．

【详解】与共线，，解得或．

故选：．

5．已知，，若与夹角的大小为60°，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的数量积的公式直接计算可得.

【详解】

故选：B

6．已知中，，，，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解.

【详解】根据正弦定理，得，故，

因为，所以或，

又因为，所以，故.

故选：A.

7．已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，根据题意，可使用余弦定理直接求解出.

【详解】，即，

由余弦定理得：.

故选：B.

8．在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理将边化角得到，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即可．

【详解】解：在中，，

由正弦定理得，又，

，

即，

，

在中，，

，又，

．

是直角三角形．

故选：B．

9．已知平面向量，下列说法中：

①；②；③向量与的夹角为；④向量在上的投影向量为，

正确说法的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】D

【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断①，根据数量积的坐标运算可判断②,由夹角公式可判断③，由投影向量的求解公式可判断④

【详解】对于①，，所以，故①错误；

对于②，，故②正确；

对于③，，

∵，，故③错误；

对于④，向量在上的投影向量为，故④正确，

故选：D

10．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系．

已知，，，得，，

，，，

，，

，，

因为点在上，则，

又，且、不共线，

可得，且，解得．

，

．

故选：D．

二、填空题

11．若复数满足（为虚数单位），则      ．

【答案】

【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义，可得答案.

【详解】由，，

则，

故答案为：.

12．是虚数单位，复数          .

【答案】

【分析】先利用复数的除法得到复数的代数形式，再利用模长公式进行求解.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

13．已知，则的值为          .

【答案】

【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.

【详解】由.

故答案为：

14．已知向量与共线，则          .

【答案】.

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

15．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则     

【答案】

【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可.

【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°，

所以.

故答案为：

16． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则          .

【答案】.

【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．

【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为．

由得，，

所以．

所以．

【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．

三、解答题

17．已知向量满足，，.

(1)求；

(2)求与的夹角；

(3)求.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积的运算律可直接构造方程求得结果；

（2）由向量夹角公式直接计算可得结果；

（3）由向量数量积运算律可求得，进而可得结果.

【详解】（1），.

（2），又，.

（3），.

18．已知向量，满足：，，.

(1)求与的夹角；

(2)若，求实数的值；

(3)若向量与所成的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可求出结果；

（2）根据可求出结果；

（3）根据且与不共线，可求出结果.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，所以，

因为，所以

（2）因为，所以，

所以，

所以，解得.

（3）若向量与所成的夹角为锐角，

则且与不共线，

所以，

所以，得，

当与共线时，存在，使得，

则，

因为与不共线，所以，

所以且.

所以的取值范围为.

19．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；

（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．

【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，

故．

20．在，角所对的边分别为，已知，．

（I）求a的值；

（II）求的值；

（III）求的值．

【答案】（I）；（II）；（III）

【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；

（II）由余弦定理即可计算；

（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（I）因为，由正弦定理可得，

，；

（II）由余弦定理可得；

（III），，

，，

所以.

21．在中，角所对的边分别为．已知 ．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，

又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.