2022-2023学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省淮安市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解出集合，根据交集含义即可.

【详解】，又因为，

则，

故选：A.

2．命题“，都有”的否定为（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，都有 D．，都有

【答案】B

【分析】根据题意，由全称命题的否定为特称命题即可得到结果.

【详解】由题意可得，，都有的否定为，使得.

故选：B

3．已知，若集合，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】若，则，所以，故充分性满足；

若，则或，显然必要性不满足；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（    ）

A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界

C．西游乐园 D．不能确定

【答案】C

【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.

【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园，

再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，

则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，

再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园.

故选：C.

5．已知，，，则m、n、p的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性，即可判断大小关系.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

故选：D

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】先求出定义域，求出，得到为奇函数，排除CD，在求出当时，，B错误，A正确.

【详解】的定义域为R，且，

故为奇函数，关于原点对称，CD错误；

当时，，故，A正确，B错误；

故选：A

7．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：

要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ）

A．6次0.7 B．6次0.6

C．5次0.7 D．5次0.6

【答案】C

【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可知，对区间内，需要求解

的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，

共计算次.

故选：C

8．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可

【详解】,

,

所以为奇函数,

为单调增函数,

,

,恒成立,

,

.

故选：D.

二、多选题

9．下列结论中正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，且，则的最小值为4

【答案】ABD

【分析】对于A、B，利用不等式的性质进行判断；对于C，利用作差比较法进行判断；对于D，利用基本不等式结合“1”的妙用进行判断.

【详解】对于A，若，则成立，故A正确；

对于B，若，则，成立，即成立，故B正确；

对于C，由以及选项A，，即成立，故C错误；

对于D，若，，且，则，当时取等号，则的最小值为4，故D正确.

故选：ABD.

10．已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（    ）

A．，

B．

C．若，则的最小值为

D．且，都有

【答案】BD

【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可.

【详解】因为有两个零点，且，

所以是方程的两个不等实根，

于是有：，故B正确；

若，显然满足，此时，故A错误；

当时，由，

此时，所以C错误；

，

因为，

所以，所以D正确，

故选：BD

11．对于函数，下列结论正确的有（    ）

A．当时，的图像关于点中心对称

B．当时，在区间上是单调函数

C．若恒成立，则的最小值为2

D．当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

【答案】ACD

【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性以及单调性即可判断AB，由正弦型函数的最值列出不等式即可判断C，由三角函数的图像变换，即可判断D.

【详解】当时，函数，令，可得，所以当时，的图像关于点中心对称，故A正确；

当时，函数，函数的最小正周期为，区间为半个周期长度，而时，函数没有取得最值，所以在区间上不是单调函数，故B错误；

若恒成立，可知时，函数取得最大值，可得，

，，解得，则的最小值为，故C正确；

当时，，的图像向右平移个单位长度得到

，故D正确；

故选：ACD

12．已知函数是定义在上的偶函数，对于任意，都有成立．当时，，下列结论中正确的有（    ）

A．

B．函数在上单调递增

C．直线是函数的一条对称轴

D．关于的方程共有4个不等实根

【答案】AC

【分析】由，令可得，进而结合奇偶性即可判断A选项；由可得，可得函数是周期为4的偶函数，结合题设画出大致图象，结合图象可判断BC选项；进而画出函数的大致图象，即可判断D选项.

【详解】由，

令，则，即，

因为是定义在上的偶函数，所以，故A正确；

由A知，，则，

所以函数是周期为4的偶函数，结合时，，

画出大致图象如下：

结合图象可知，函数在上单调递减，直线是函数的一条对称轴，故B错误，C正确；

对于D，画出函数的大致图象如下：

结合图象可知，函数和有两个交点，

所以方程共有2个不等实根，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数是周期为4的偶函数，然后画出大致图象，结合图象即可求解.

三、填空题

13．函数，则        ．

【答案】9

【分析】根据函数解析式代值计算即可.

【详解】因为，

所以，

所以.

故答案为：9.

14．已知a，b为正实数，满足，则的最小值为        ．

【答案】

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】为正实数，满足，

，

，则，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

15．如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为        ．

【答案】

【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．

【详解】如图，连接.

由题意知，线段的长度都等于半径，

所以，为正三角形，则，

故的面积为，

扇形的面积为，

由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，

所以阴影部分的面积.

故答案为：.

四、双空题

16．近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为        ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为        秒．

【答案】          4

【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；

（2）解不等式即得.

【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，

风车转动一圈为秒，则角速度，

如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，

设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，

以为始边，为终边的角不妨取，

那么经过（秒）后，运动到点，

于是，以为始边，为终边的角为，

由三角函数定义知，

则，

所以.

（2）令，

所以,

所以.

当时，，

所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）已知，求的值；

（2）求值．

【答案】（1）；（2）0

【分析】（1）根据弦化切公式以及平方关系式进行求解；

（2）根据对数换底公式以及对数恒等式求得结果.

【详解】（1）由题意有

则.

（2）原式.

18．设全集为，集合，．

(1)当时，求图中阴影部分表示的集合C；

(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C；

（2）根据所选的条件均可得，讨论是否为空集列不等式组求参数范围即可.

【详解】（1）由集合A知，即，解得或，

所以，当时，

∴.

（2）选择①②③，均可得.

当时，，解得；

当时，或，解得或，即．

综上所述，实数a的取值范围是．

19．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；

（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）由图可知，．因为，所以，．

代入有，

∴，

又∵，∴，∴；

（2）由题意知变换后

当时，令，即，

函数在时单调递减，此时，

函数在时单调递增，此时，

等价于有两解．

所以当时符合题意，即a的取值范围为．

20．2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：

若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．

（参考数据：，，，）

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．

【答案】(1)，

(2)11个

【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；

（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.

【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得

得，代入有，不合题意．

若选，将，和，代入得，

解得，得．代入有，符合题意．

（2）设至少需要x个单位时间，则，即，

则，又，，

，∵，

∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．

21．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断并证明在上的单调性；

(3)若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；

（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；

（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，∴，则有

由得，∴，

又，∴，，；

（2）任取，，

∵，∴，，且，，

∴，∴，在上单调递增；

（3）由（2）知在上单调递增，∴，

．

令，则有

令，，，∴．

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二次函数的性质是解题的关键.

22．已知函数．

(1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值；

(2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果；

（2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果.

【详解】（1）由，

得，

令，定义域为．

任取，

∵，∴，，

∴，在上单调递增．

，，由零点存在定理知．

（2）由已知得恒成立，即，

显然，首先对任意成立，即，

由，得，所以．

其次，，设，，则有，，令，，

，由基本不等式知，，当且仅当时，

有最大值1，∴

综上，实数a的取值范围为．