2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．sin30°的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据特殊角直接得出结果.

【详解】易得.

故选：A.

2．下列函数中，周期为的偶函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据周期公式和偶函数的定义逐个分析判断

【详解】对于A，的周期为，所以A错误，

对于B，的周期为，因为，所以函数为偶函数，所以B正确，

对于C，的周期为，因为，所以函数为奇函数，所以C错误，

对于D，的周期为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，

故选：B

3．已知扇形的弧长是2，面积是4，则扇形的半径是（    ）

A．1 B．2 C．4 D．1或4

【答案】C

【分析】由扇形面积公式结合图中条件直接计算即可.

【详解】设扇形的弧长为l，面积为S，半径为r，由扇形的面积公式可得：.

故选：C.

【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.

4．函数的一个对称中心的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程即得解.

【详解】解：令，

令，

所以函数的一个对称中心的坐标是.

故选：D

5．已知，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.

【详解】.

故选：D

【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.

6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式分别整理计算可得，，，再进行大小比较．

【详解】

∴

故选：C．

7．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.

【详解】函数，

因为，

所以当时，函数取得最小值，

当时，函数取得最大值，

故函数的值域为，

故选：A．

8．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.

【详解】由题意，可得，，

因为，，可得，，

则

.

故选：C.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是

B．若角，则角为第二象限角

C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角

D．在区间内，函数与的图象有2个交点

【答案】ACD

【分析】结合三角函数的性质，每个选项逐个判断即可.

【详解】对于A，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是，故A错误；

对于B，若角，则角为第二象限角，故B正确；

对于C，例如角是第一象限角，但角是第三象限角，故C错误；

对于D，在区间内，只有，则函数与的图象只有个交点，故D错误.

故选：ACD.

10．有下列4个关于三角函数的命题，其中是真命题的是（    ）

A．

B．函数的图象关于轴对称

C．若都是第一象限角，且，则

D．取最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，通过对化简变形判断，对于B，对函数化简后判断，对于C，举例判断，对于D，利用辅助角公式对函数变形的判断.

【详解】对于A，因为，

所以，故A正确；

对于B，为偶函数，故图象关于轴对称，即B正确；

对于C，若，满足，此时，故C错误；

对于D，，则，故D正确；

故选：ABD

11．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数

C．函数的图像关于直线对称

D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

【答案】AC

【分析】由图，先求得函数的周期，得到，再代入最高点可得，进而求得，再结合三角函数图象伸缩平移与函数的性质逐个判断即可

【详解】对A，由图，，则，故，

所以，又，即，

所以，即，

因为，故，所以，故A正确；

对B，把函数的图像向左平移个单位可得为奇函数，

故B错误；

对C，当时，为的对称轴，故C正确；

对D，把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，

得到，

当时，不为的增区间，故D错误；

故选：AC

12．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．是函数的对称轴

B．函数在区间上单调递增

C．函数的最大值为，最小值为

D．函数在区间上恰有2022个零点，则

【答案】BD

【分析】对选项A，根据即可判断A错误，对选项B，利用复合函数的单调性即可判断B正确，对选项C，利用复合函数的单调性求最值即可判断C正确，对选项D，首先根据条件得到函数在上有2个零点，再结合周期性即可判断D正确.

【详解】对选项A，

，

所以不是是函数的对称轴，故A错误.

对选项B，，，

令，则,

所以，

因为，为增函数，

时，为增函数，

所以函数在区间上单调递增，故B正确.

对选项C，，

所以是以周期为的函数.

要求函数的最值，只需要考虑在上的最值即可.

当时，，

令，则,

所以，

因为在为减函数，所以，，

当时，，

令，则,

所以，

因为在为增函数，所以，

综上，，故C正确.

对选项D，因为是以周期为的函数，所以先考虑上的零点，

由C知：时， 令，，

解得，即，.

时， 令，，

解得，即，.

所以函数在上有2个零点.

若，则在上有个零点.

因为函数在区间上恰有2022个零点，

所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．函数的最小正周期是             .

【答案】

【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.

【详解】函数的最小正周期.

故答案为：

14．已知，则           .

【答案】/0.6

【分析】，然后利用诱导公式求解即可.

【详解】∵，

∴

.

故答案为：.

15．已知函数，若对任意恒成立，则函数的单调增区间为      ．

【答案】

【分析】由题意可得函数在处取得最值，进而求出，然后求出函数的单调递增区间.

【详解】根据题意，函数在处取得最值，则，即.

令，解得函数的增区间为.

故答案为：.

16．设函数，其中，若且图象的两条对称轴间的最近距离是．若是的三个内角，且，则的取值范围为          ．

【答案】

【分析】利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求，，结合范围，可求，由题意可求周期为，利用周期公式可求，从而可得函数解析式，由题意可得，结合范围，可解得，从而，利用三角函数恒等变换的应用可将化为，结合范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围．

【详解】解：由题知，，

，得，，

，取，得，

函数图象的两条对称轴间的最近距离是，

周期为，得，

得．

由，得，

是的内角，，

，得，

，从而．

由

，

，，

，即，，

因此，的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】本题考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想．

四、解答题

17．已知，其中为第二象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的平方关系列方程求解即可；

（2）利用三角函数的商数关系求得代入即可求解.

【详解】（1）由已知条件，化简可得，

代入，得，

解得或，

又在第二象限，，，

所以，，

所以.

（2）由（1）得，

所以，

所以．

18．已知函数

(1)求函数的单调减区间；

(2)求当时函数的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可求出函数的减区间，

（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求得其最值.

【详解】（1）令，可得

所以函数的单调减区间为

（2）当时，，，

所以

即

19．（1）已知，求；

（2）已知，，且，，求的值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）用诱导公式化简三角齐次弦分式，可得正切值，可用倍角公式转化再添分母“1”可化为齐次弦分式，将所求正切值代入即可;

（2）先用同角的三角函数公式求出两角的余弦，再代入两角和的余弦公式，求出的余弦值，则角可求.

【详解】（1），

即

（2），，且，，

，，

，

，，

，

.

20．设，函数的最小正周期为，且．

(1)求和的值；

(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；

(3)若，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)作图见解析

(3)

【分析】（1）利用最小正周期和解即可；

（2）利用列表，描点画出图像即可；

（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.

【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴．

∵，

且，∴．

（2）由（1）知，列表如下：

                        在上的图像如图所示：

（3）∵，即，

∴，

则，

即．

∴的取值范围是

21．如图，在扇形中，半径，圆心角，A是半径上的动点，矩形内接于扇形，且.

（1）若，求线段的长；

（2）求矩形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）矩形面积的最大值为.

【解析】（1）由题意可得，过作的垂线，垂足为，在中，即可求解.

（2）由（1）可得，，从而可得，，根据矩形面积公式以及辅助角公式即可求解.

【详解】（1）且，

为等边三角形，,

又四边形为矩形，，，

在扇形中，半径，

过作的垂线，垂足为，

，

在中，.

（2）矩形面积，

设，由（1）可知，，

，，

，

，

，，

当，即时，矩形面积的最大值，

最大值为.

22．已知函数在区间（）上的最大值为，最小值为，记.

(1)求的值；

(2)设（）.

①若，试写出方程的一个解；

②若，求函数的零点个数.

【答案】(1)

(2)①（答案不唯一）；②答案见解析

【分析】（1）先化简得，将代入求得，根据单调性求出即可；

（2）①由得或，进而得到，解出即可；②将函数的零点个数转化为与的交点个数，分类讨论求出的解析式，画出函数的图象，对分类讨论即可确定零点个数.

【详解】（1）.

当时，，此时，，于是.

（2）①由（1）知，，最小正周期，当，，即，或显然满足，

由于区间的长度为，即，只要满足，即可满足或，

此时.（此题答案不唯一）

②函数的零点个数即与的交点个数.

当时，，此时函数单调递增，

则；

当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，

又，则；

当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，

又，.

于是在直角坐标系内画出函数的图象如下，

由图可知，当或时，函数的零点个数为0，

当或时，函数有1个零点，

当或时，函数有2个零点，

当时，函数有3个零点.