(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第9章 第2讲　两直线的位置关系 (2份打包，原卷版+教师版)

第2讲　两直线的位置关系

一、知识梳理

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

2.两条直线的交点

3.三种距离

常用结论

1.会用两个充要条件

(1)两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2﹣A2B1＝0.

(2)两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

2.直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx﹣Ay＋n＝0(n∈R).

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

3.六种常用对称关系

(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(﹣x，﹣y).

(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，﹣y)，关于y轴的对称点为(﹣x，y).

(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝﹣x的对称点为(﹣y，﹣x).

(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a﹣x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b﹣y).

(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a﹣x，2b﹣y).

(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k﹣y，k﹣x)，关于直线x﹣y＝k的对称点为(k＋y，x﹣k).

二、教材衍化

1.两直线4x＋3y＝10与2x﹣y＝10的交点坐标为________.

2.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x﹣y＋3＝0的距离为1，则a等于________

3.已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________.　

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1.(　　)

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)

(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)

(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)

二、易错纠偏

(1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；

(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况.

1.两条平行直线3x＋4y﹣12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)

A.        B.        C.7        D.

2.已知直线l1：ax＋y﹣4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则a＝________.

考点一　两直线的位置关系(基础型)

能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

核心素养　数学运算，逻辑推理

已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a﹣1)y＋a2﹣1＝0.

(1)当l1∥l2时，求a的值；

(2)当l1⊥l2时，求a的值.

(1)两直线平行、垂直的判断方法

若已知两直线的斜率存在.

①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.

②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于﹣1.

[提醒]　判断两条直线位置关系应注意：

〈1〉注意斜率不存在的特殊情况.

〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.

(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略

在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.　

1.“a＝1”是“直线ax＋2y﹣8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A.充要条件            B.充分不必要条件

C.必要不充分条件      D.既不充分也不必要条件

2.求满足下列条件的直线方程.

(1)过点P(﹣1，3)且平行于直线x﹣2y＋3＝0；

(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线.

考点二　两直线的交点与距离问题(基础型)

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.

核心素养：数学运算

角度一　两直线的交点与直线过定点

(1)对于任给的实数m，直线(m﹣1)x＋(2m﹣1)y＝m﹣5都通过一定点，则该定点的坐标为(　　)

A.(9，﹣4)　    B.(﹣9，﹣4)     C.(9，4)        D.(﹣9，4)

(2)经过两直线l1：x﹣2y＋4＝0和l2：x＋y﹣2＝0的交点P，且与直线l3：3x﹣4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________.

角度二　三种距离问题

(1)已知点P(﹣1，﹣1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP的面积为________.

(2)若两平行直线l1：x﹣2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny﹣6＝0之间的距离是，则m＋n＝________.

两种距离的求解思路

(1)点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.

(2)两平行直线间的距离的求法

①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；

②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式).　

1.与直线l1：3x＋2y﹣6＝0和直线l2：6x＋4y﹣3＝0等距离的直线方程是________.

2.l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，﹣1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________.

考点三　对称问题(综合型)

对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.

已知直线l：2x﹣3y＋1＝0，点A(﹣1，﹣2).求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x﹣2y﹣6＝0关于直线l的对称直线m′的方程.

【迁移探究】　

(变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(﹣1，﹣2) 对称的直线l′的方程.

1.与直线3x﹣4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________.

2.已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(﹣2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________.

[基础题组练]

1.已知直线ax＋2y＋2＝0与3x﹣y﹣2＝0平行，则系数a＝(　　)

A.﹣3        B.﹣6      C.﹣        D.

2.已知直线4x＋my﹣6＝0与直线5x﹣2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为(　　)

A.7        B.9       C.11        D.﹣7

3.若点P在直线3x＋y﹣5＝0上，且P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A.(1，2)        B.(2，1)    C.(1，2)或(2，﹣1)        D.(2，1)或(﹣1，2)

4.直线ax＋y＋3a﹣1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)

A.2x＋3y﹣12＝0        B.2x﹣3y﹣12＝0

C.2x﹣3y＋12＝0        D.2x＋3y＋12＝0

5.直线2x﹣y＋3＝0关于直线x﹣y＋2＝0对称的直线方程是(　　)

A.x﹣2y＋3＝0        B.x﹣2y﹣3＝0

C.x＋2y＋1＝0        D.x＋2y﹣1＝0

6.过两直线l1：x﹣3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________.

7.已知直线l1：ax＋y＋3a﹣4＝0和l2：2x＋(a﹣1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________.

8.已知点A(﹣1，2)，B(3，4).P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________.

9.已知两直线l1：ax﹣by＋4＝0和l2：(a﹣1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.

(1)l1⊥l2，且直线l1过点(﹣3，﹣1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.

10.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0，求直线BC的方程.

[综合题组练]

1.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(﹣4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)

A.(﹣2，4)　　　   B.(﹣2，﹣4)     C.(2，4)        D.(2，﹣4)

2.(创新型)(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.则以下命题不正确的是(　　)

A.若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行

B.若d1＝1，d2＝﹣1，则直线P1P2与直线l垂直

C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D.若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交

3.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.

4.如图，已知A(﹣2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(﹣1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________.

5.已知直线l：x﹣y＋3＝0.

(1)求点A(2，1)关于直线l：x﹣y＋3＝0的对称点A′；

(2)求直线l1：x﹣2y﹣6＝0关于直线l的对称直线l2的方程.

6.已知方程(2＋λ)x﹣(1＋λ)y﹣2(3＋2λ)＝0与点P(﹣2，2).

(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.