陕西省西安市雁塔区高新第一中学2023-2024学年上学期九年级开学考试数学模拟试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市雁塔区高新第一中学2023-2024学年上学期九年级开学考试数学模拟试卷（含答案），共26页。

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新第一中学九年级上学期开学数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）线段a，b，c满足a：b＝3：2，且b是a，c的比例中项，那么b：c等于（　　）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么CE的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．9
3．（3分）下列选项中，不是依据三角形全等知识解决问题的是（　　）
A．同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长
B．工人师傅用角尺平分任意角
C．利用尺规作图，作一个角等于已知角
D．用放大镜观察蚂蚁的触角
4．（3分）如图，AC与BD相交于点O，在下列条件中，不能保证△AOB∽△COD的是（　　）
①AB∥CD；②∠A＝∠C；③∠B＝∠D；④OA＝OD．

A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）如图，为一块正方形零件EFGH，现打算给其套上三角形铁框，使铁框的两边AB，AC分别过正方形零件的两个顶点E，H，且底边与正方形零件的底边重合，已知铁框底边BC长为60cm，高AD为40cm，（忽略铁框和零件的厚度）则这个正方形零件的周长为（　　）

A．40cm B．48cm C．96cm D．192cm
6．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
7．（3分）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：5 C．： D．4：9
8．（3分）如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（　　）

A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2
9．（3分）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为（　　）

A．24cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．6cm2
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（　　）
​

A． B．1 C． D．2
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．（3分）若，则＝　 　．
12．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你填上一个你认为正确的条件使△AED∽△ABC，　 　．

13．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B＝　 　．


14．（3分）直角三角形斜边AB上的高CD＝3，延长DC到P使得CP＝2，过B作BF⊥AP交CD于E，交AP于F，则DE＝　 　．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为　 　．

16．（3分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　 　．

17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝2，∠BAD＝120°，则FG的长为 　 　．

三．解答题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6，AD＝5．求DC与AE的长．

19．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交GH于点Q．
（1）求证：△IAB∽△ACB；
（2）求HQ：QG的值．

20．小明和小华在同一盏路灯下的影长如图所示，回答下列问题：
（1）请找出路灯的位置；
（2）若小明、小华的身高分别为1.6m，1.5m，路灯的高度为4m．小明、小华在该路灯下的影长分别为2m，1.8 m，求小明和小华之间的水平距离．

21．如图，在▱ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF．连接AF、CF、CE、AE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝4，BE＝3，∠ADB＝∠CBD＝90°，当四边形AECF是矩形时，则BD的长为　 　．

22．如图，矩形ABCD中AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？

23．如图，E是四边形ABCD的边AB上一点．

（1）猜想论证：如图，分别连接DE、CE，若∠A＝∠B＝∠DEC＝65°，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明理由．
（2）观察作图：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E（点E与点A，B不重合），分别连接ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．
（3）拓展探究：如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，请直接写出的值．

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新第一中学九年级上学期开学数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）线段a，b，c满足a：b＝3：2，且b是a，c的比例中项，那么b：c等于（　　）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
【答案】D
【解答】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么CE的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝4，
故选：A．
3．（3分）下列选项中，不是依据三角形全等知识解决问题的是（　　）
A．同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长
B．工人师傅用角尺平分任意角
C．利用尺规作图，作一个角等于已知角
D．用放大镜观察蚂蚁的触角
【答案】D
【解答】解：A、利同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长，是利用SAS得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；
B、工人师傅用角尺平分任意角，是利用SSS得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；
C、利用尺规作图，作一个角等于已知角，是利用SSS得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；
D、用放大镜观察蚂蚁的触角，是利用相似，不是依据三角形全等知识解决问题，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）如图，AC与BD相交于点O，在下列条件中，不能保证△AOB∽△COD的是（　　）
①AB∥CD；②∠A＝∠C；③∠B＝∠D；④OA＝OD．

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△AOB∽△COD，故①能保证△AOB∽△COD，故选项A不符合题意；
∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，故②能保证△AOB∽△COD，故选项B不符合题意；
∵∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，故③能保证△AOB∽△COD，故选项C不符合题意；
OA＝OD，不能保证△AOB∽△COD，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，为一块正方形零件EFGH，现打算给其套上三角形铁框，使铁框的两边AB，AC分别过正方形零件的两个顶点E，H，且底边与正方形零件的底边重合，已知铁框底边BC长为60cm，高AD为40cm，（忽略铁框和零件的厚度）则这个正方形零件的周长为（　　）

A．40cm B．48cm C．96cm D．192cm
【答案】C
【解答】解：设正方形的边长为xcm，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EH，
∴＝，即＝，
解得：x＝24，
所以正方形的边长为24cm，
则这个正方形零件的周长为：24×4＝96（cm），
故选：C．
6．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
7．（3分）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：5 C．： D．4：9
【答案】D
【解答】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，
∴它们的面积比为4：9，
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（　　）

A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2
【答案】A
【解答】解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，
∴△ADP∽△RBP，
∴，
∴．
∵CR：AD＝2：3，
∴CR＝AD，
∴＝．
故选：A．
9．（3分）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为（　　）

A．24cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．6cm2
【答案】B
【解答】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10cm，
∴AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故选：B．

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（　　）
​

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：连接AC交BD于点G，连接并延长GF交BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，AD＝CD＝2，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，
∵AF＝EF，∠AFE＝90°，
∴∠FAE＝∠FEA＝45°，
∵BD⊥AC于点G，
∴∠AGB＝90°，AG＝CG，
∵∠AGL＝∠EFL，∠ALG＝∠ELF，
∴△ALG∽△ELF，
∴＝，
∴＝，
∵∠GLF＝∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF＝∠FAE＝45°，
∴∠LGF＝∠FAE＝45°，
∴∠LGF＝∠ABD，
∴GF∥AB，
∴∠GHC＝∠ABC＝90°，＝＝1，
∴GH⊥BC，BH＝CH＝BC＝1，
∴点F在BC的垂直平分线上运动，
∵CH⊥GH，
∴当点F与点H重合时，CF的值最小，此时CF＝CH＝1，
∴CG长的最小值为1，
故选：B．

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．（3分）若，则＝　　．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴2y＝3x﹣6y，
2y+6y＝3x，
8y＝3x，
∴＝，
∴＝﹣1
＝﹣1
＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你填上一个你认为正确的条件使△AED∽△ABC，　∠B＝∠AED　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠B＝∠AED，
∴△AED∽△ABC．
故答案为：∠B＝∠AED．
13．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B＝　65°　．


【答案】65°．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠A＝∠E＝85°，∠C＝∠G＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣85°﹣120°﹣90°＝65°．
故答案为：65°．
14．（3分）直角三角形斜边AB上的高CD＝3，延长DC到P使得CP＝2，过B作BF⊥AP交CD于E，交AP于F，则DE＝　　．
【答案】．
【解答】解：如图所示：

∵CD是高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠AC+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵CD＝3，
∴AD•BD＝CD2＝9，
∵CD⊥AB，BF⊥AP，
∴∠ADP＝∠BDE＝∠EFP＝90°，
∵∠APD＝∠EPF，∠ADP+∠APD+∠DAP＝180°，∠E+∠EPF+∠EFP＝180°，
∴∠DAP＝∠E，
∵∠ADP＝∠EDB＝90°，
∴△ADP∽△EDB，
∴＝，
∴DP•DE＝AD•BD，
∵DP＝2，AD•DB＝9，
∴2DE＝9，
∴DE＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为　　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长AB，DN交于点P，

∵在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，
∴BN＝1＝CN，DM＝1，
∵AD＝2，DM＝1，
∴AM＝＝＝，
∵BC∥AD，
∴△PBN∽△PAD，
∴，
∴＝，
∴BP＝AB＝2，
∴AP＝4，
∴DP＝＝＝2，
∵DM＝CN＝1，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝CD，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴DN＝AM＝，∠DAM＝∠CDN，
∵∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠DAM+∠ADN＝90°＝∠DEM，
∴DN⊥AM，
∵S△ADM＝×AD×DM＝×AM×DE，
∴DE＝＝，
又∵AB＝BP，
∴BE＝AB＝BP＝2，
∴∠AEB＝∠BAE，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAE＝∠AEB，
∴90°﹣∠ADE＝90°﹣∠AEB，
∴∠DAE＝∠EAF，
又∵AE＝AE，∠AED＝∠AEF＝90°，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴DE＝EF＝，
∴DF＝，
∴FP＝DP﹣DF＝，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴MG＝DG﹣DM＝，
故答案为：．
16．（3分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　2+　．

【答案】+2．
【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC+BD＝（﹣1）AB，
即AB+CD＝（﹣1）AB，
∴AB＝+2，
故答案为：+2．
17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝2，∠BAD＝120°，则FG的长为 　　．

【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60°，
∵BE＝AF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∵∠B＝60°，
∴∠AEG＝∠BCE，
∴△BCE∽△AEG，
∴，
∵BE＝2，BC＝8，
∴AE＝6，
∴AG＝1.5，
∴，
∴，
设CE＝4x，则EG＝3x，
∴FG＝EF﹣EG＝x，
∵∠GAF＝∠GEC＝60°，∠AGF＝∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∴AG：EG＝GF：GC，
∴1.5：3x＝x：6.5，
∴x＝，
∴FG＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6，AD＝5．求DC与AE的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，（1分）
又DE＝4，BC＝6，AD＝5，
∴，（1分）
∴，（1分）
∴，（1分）
∵DE∥BC，
∴，
∴∠DBC＝∠EDB（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，（1分）
∴∠EBD＝∠EDB，（1分）
∴DE＝BE＝4，（1分）
，（1分）
∴AE＝8．（1分）
19．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交GH于点Q．
（1）求证：△IAB∽△ACB；
（2）求HQ：QG的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，
∴，，
∴，
∵∠ABI＝∠ABC，
∴△IAB∽△ACB；
（2）解：∵∠ABC＝∠HGI，
∴GQ∥AB，
∴△QGI∽△ABI，
∴，
∴QG＝＝，
∴QH＝2﹣＝，
∴HQ：QG＝3．
20．小明和小华在同一盏路灯下的影长如图所示，回答下列问题：
（1）请找出路灯的位置；
（2）若小明、小华的身高分别为1.6m，1.5m，路灯的高度为4m．小明、小华在该路灯下的影长分别为2m，1.8 m，求小明和小华之间的水平距离．

【答案】（1）路灯的位置见解析；
（2）6m．
【解答】解：（1）设小明、小华的身高分别为CD、EF，小明、小华在该路灯下的影长分别为DM、FN，如图所示：
连接MC、NE，延长NE交MC的延长线于A，过点A作AB⊥MN于B，则AB就是路灯的位置；
（2）由题意得：CD＝1.6m．EF＝1.5m，AB＝4m，MD＝2m，NF＝1.8m，CD⊥MN，AB⊥MN，EF⊥MN，
∴CD∥AB∥MN，
∴△MCD∽△MAB，△NEF∽△NAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：BD＝3（m），BF＝3（m），
∴DF＝BD+BF＝3+3＝6（m），
答：小明和小华之间的水平距离为6m．

21．如图，在▱ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF．连接AF、CF、CE、AE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝4，BE＝3，∠ADB＝∠CBD＝90°，当四边形AECF是矩形时，则BD的长为　　．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：BE＝DF＝3，
∵∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴AF＝＝5，
方法1：∵AD＝4，
∴BC＝4，
设OB＝x，则OE＝x+3，
∵四边形AECF是矩形，
∴OE＝OC＝x+3，
∵∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴x2+42＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OB＝，
∴BD＝．
方法2：∵四边形AECF是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE＝∠ADF，
∵∠AFD＝∠EFA，
∴△FAD∽△FEA（AA），
∴＝，即＝，
解得FE＝，
∴BD＝﹣3﹣3＝．
故答案为：．

22．如图，矩形ABCD中AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：AP＝2tcm，DQ＝tcm，则AQ＝（6﹣t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；
分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝3；
②当时，
即，
解得：t＝．
综上所述：当t＝3或t＝时，△APQ与△ABC相似．
23．如图，E是四边形ABCD的边AB上一点．

（1）猜想论证：如图，分别连接DE、CE，若∠A＝∠B＝∠DEC＝65°，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明理由．
（2）观察作图：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E（点E与点A，B不重合），分别连接ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．
（3）拓展探究：如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，请直接写出的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ADE∽△BEC，理由为：
∵∠A＝65°，
∴∠ADE+∠DEA＝115°，
∵∠DEC＝65°，
∴∠BEC+∠DEA＝115°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）作图如下：

（3）∵点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°，
∴DC＝CE＝AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE＝＝cos30°，
∴＝．