2022-2023学年四川省泸县第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省泸县第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题意得到，再求其虚部即可.

【详解】由题知：，，

所以的虚部为.

故选：A

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可得答案

【详解】解：定义域为，

因为，

所以为偶函数，所以图像关于轴对称，所以排除AC，

当时，，则，

令，则或（舍去）

当时，，当时，，

所以 在上递减，在上递增，所以排除B，

故选：D

3．函数的单调递增区间为（    ）

A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)

【答案】D

【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.

【详解】∵函数，，

∴，

由，，解得，

即函数的单调递增区间为.

故选：D.

4．已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分又不必要条件 D．充要条件

【答案】B

【分析】根据空间中直线与直线的位置关系以及线面平行的判定定理，结合必要不充分条件的概念即可得出结论.

【详解】依题意得，

当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，

当，时，由线面平行的判定定理可得，

综上所述，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.

【详解】满足条件，执行第一次循环，，；

满足条件，执行第二次循环，，；

满足条件，执行第二次循环，，.

满足条件，调出循环体，输出的值为.

由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选A.

【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

6．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于(    )

A．6 B．5 C．4 D．2

【答案】B

【分析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.

【详解】由题意，,解得

所以

故选：B.

7．甲､乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（    ）

A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数

B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数

C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差

D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差

【答案】C

【分析】根据条形图列举出甲乙的数据，应用平均数、中位数、方差、极差的求法求出甲乙的特征数据，进而比较它们的大小即可.

【详解】由题设，甲数据为，乙数据为，

所以甲的平均数为，

乙的平均数为，

甲乙中位数均为，

甲的方差，乙的方差，

甲极差为，乙极差为，

综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.

故A、B、D错误，C正确.

故选：C

8．在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆的面积，最后根据几何概型公式求解即可.

【详解】根据不等式组，

如图做出点P的可行域:

由图可知：点P的可行域为等腰三角形，

所以,

圆的面积为，

由几何概型可知，

圆内随机取一点P，则点P落在不等式组表示的区域内的概率为：,

故选：C

【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.

9．已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；

【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；

对于，恒成立，

所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，

所以为假命题，为假命题，为真命题；

故选：D

10．已知函数.曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；

解：因为，所以，

所以，，

所以切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

故选：C

11．已知函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析导数的单调性，利用中间值法可得出，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】因为，所以，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

又，，即，所以，

故选：B.

12．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，得，得，构造函数，，求出其最小值，即可求出a的取值范围．

【详解】由，得，即，

记，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

，

，记，，

，

，，，

时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴，.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是合理构造函数，求出其最小值从而求出a的取值范围．

二、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离是            .

【答案】

【解析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得结果.

【详解】抛物线的标准方程为，则，可得.

因此，抛物线的焦点到准线的距离是.

故答案为：.

14．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为              ．

【答案】9

【分析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积

【详解】由题设可估计落入黑色部分的概率

设黑色部分的面积为,由几何概型计算公式可得

解得

故答案为:9

15．若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是      ．

【答案】/

【分析】根据轴截面可求圆锥的高和底面半径，故可求圆锥的体积.

【详解】因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，

故圆锥的高为且底面半径为，

故体积为，

故答案为：.

16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为         ．

【答案】，或，或

【分析】由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，再由可得，进而可求出不等式的解集

【详解】解：令，则，

因为对任意的都有，

所以当，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

因为为偶函数，所以，

所以，

所以为偶函数，

所以由，所以，所以，解得或，

因为，所以，

综上，，或，或，

所以不等式的解集为，或，或.

故答案为：，或，或

三、解答题

17．已知函数在点（1，）处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数和的值；

（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；

（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．

【详解】解：（Ⅰ）因为

所以，

由题意可得，，

解得，，，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

所以，

因为，，

易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极小值也就是最小值

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．

18．2021年3月31日起，中国共产党党史学习知识达人挑战赛线上报名通道开启，全国掀起了学习党史的热潮，为了解我市居民对党史知识的了解情况，某机构随机抽取了人参与问卷调查，得到如图的频率分布直方图：

（1）参与本次调查的人若得分在80～90分的称为“学习达人”，在分以上的称为“特优达人”，现从分以上的人中按“学习达人”、“特优达人”分层抽样抽取人，在这人中任取人，求至多有一人为“学习达人”的概率；

（2）该机构统计了被调查人不同年龄阶段的问卷平均得分，如下表：

若平均得分与代码数值之间存在线性相关关系，求与的线性回归方程.

参考数据：对一组数据，，其回归直线方程的斜率和截距用最小二乘法估计，分别为，.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由频率分布直方图求得学习达人人数和特优达人人数，从而得出抽取的5人中习达人和特优达人人数，编号后写出任取2人的所有基本事件，并得出至多有一人为“学习达人”的基本事件，计数后可计算出概率；

（2）求出，根据公式求得回归方程的系数得回归方程．

【详解】解：（1）由频率分布直方图知学习达人人数为人，

特优达人人数为人，

根据分层抽样抽取人中学习达人抽取人令为，，，，

特优达人抽取人令为，

则人中抽取两人的所有种类有：，，，，，

，，，，共种

其中抽取的两人中至多有一人为“学习达人”种类有种，

抽取的两人中至多有一人为“学习达人”的概率；

（2）由题知，，

，，

，

，

线性方程为.

19．如图，在四棱锥中，，，，，平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的表面积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）由线面垂直推出，，勾股定理求出边AC，则易证，得证；（Ⅱ）易证各侧面均为直角三角形，底面为两直角三角形的组合，相应直角边长代入三角形面积计算公式求和即可.

【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，平面，

所以，，

因为，，所以.

因为，，

所以，

所以，，

由，，可得，

平面.

（Ⅱ）由题意可知，

，

由（Ⅰ）可知，平面，平面，

所以，同理可得，

又，，

所以，

所以四棱锥的表面积.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，多面体的表面积，属于中档题.

20．平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【分析】（1）依题意，线段的长度等于到：的距离，由抛物线定义可得其方程；

（2）设直线方程为（），与联立得，由“直线，的斜率互为相反数”结合韦达定理得，进而可证得结果.

【详解】（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，

则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，

所以，的方程为．

（2）将代入得．则

易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．

由得．

则，．①

则，，

因为直线，的斜率互为相反数，

所以，，

则．②

联立①②，得，

所以或．

若，则的方程为，恒过点，不合题意；

所以，即直线的斜率为定值．

21．设函数.

（1）若该函数为奇函数，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）或或.

【分析】（1）由题知，，从而得，再求出，利用点斜式即可写出切线方程．

（2）求导得，然后分，和三种情况讨论与0的大小关系，从而得的单调性．

（3）结合（2）中函数的单调性与零点存在定理可知，要使有三个零点，则，解之即可．

【详解】解：（1）∵是奇函数，∴，

∴对，恒成立，

即对，恒成立，∴，

又，∴，

∴曲线在点处的切线方程为；

（2）∵，

令，得或.

①若即时，时，；时，.

∴在、上单调递增，在上单调递减；

②若即时，时，；时，.

∴在与上单调递增，在上单调递减；

③若即时，，∴在上单调递增.

综上可知，

若时，在与上单调递增；在上单调递减；

若时，在与上单调递增；在上单调递减；

若时，在上单调递增；

（3）由（2）知，要使有两个零点，则，

   又，∴，∴，

解得或或 ，故实数的取值范围为．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

22．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将曲线变形为，由，，，代入即可得到所求曲线的直角坐标方程；

（2）令，可得，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，求得的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．

【详解】（1）曲线的极坐标方程是，

即为，

由，，，

可得，

即；

（2）直线的参数方程是为参数）

令，可得，，即，

将直线的参数方程代入曲线，可得：

，

即为，

解得，，

由参数的几何意义可得，

．

【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用，，进行方程的转化，同时注意运用参数的几何意义进行求解，考查方程思想的运用和运算求解能力．

23．已知函数，且不等式的解集为．

(1)求实数的值；

(2)若正实数满足，证明：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；

（2）根据题意，结合柯西不等式代入计算即可得到证明.

【详解】（1），且，

，解得．

．            

．

（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；

（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．

综上所述，．

（2）由（1）得．．

，           

．当且仅当，即时等号成立．

．