湖北省宜荆荆恩2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2024届高三（9）月起点考试

数学参考答案

1~8:BADC  DCBB  

9.AC     10.ACD      11.ABC     12.BC

13.  40        14.         15.             16.                    

17.解：(1)

………………1分

由正弦定理得…………2分

由余弦定理可得…………3分

，

…………………………5分

(2)由余弦定理得

…………………………6分

由于，

……………………7分

故

 ………………………………10分

18.(1)证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．

又,则，从而…………2分

由平面ABC，且平面ABC，得

由，且PR为三角形ABC的中位线，得

又因为，AC，平面ADFC，

所以平面

由于平面，则…………4分

因为，平面PQR，则平面

又因为平面BCD，

所以平面平面…………………………6分

(2)解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

故，，

设是平面的法向量，则

取，得，…………………………………………8分

设是平面的法向量，则

取，得，……………………………………10分

设平面与平面相交所成角的平面角为，则

  又…………11分

故所求余弦值为………………………………………………12分

19.解：（1）…………1分

在处取得极值，，解得……………………………2分

 当时，，，在增，在减，故在  处有极大值，符合题意………………………………………………3分

，……………………………………………………4分

曲线在点处的切线方程为，

即为：……………………………………………………6分

（2）由在上为减函数，在上恒成立，

  可得，在上恒成立……………………………………8分

令，，

 在上单调递增，，,因此…………12分

20.解：(1)因为数列的前n项和为，且

当时，…………………………………………1分

当时，

也满足上式，所以…………………………3分

在数列中，……………………4分

则公比，

所求通项公式为,…………………………………6分

(2)由(1)得 

而………………8分

  …………11分

因为，故………………12分

21.解：(1)由题可知： …………………………2分

………………………………3分

(2)次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：

…………4分

………………………………………………6分

……………………………………………8分

,

即 …………………………………………9分

(3)，

又  

 即    …………10分

    …………12分

22.(1)解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值…………1分

结合及，解得 

故椭圆C的标准方程为 …………4分

设点

若直线PQ的斜率为零，由对称性知，不合题意.……5分

设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则 

联立 得，由可得

，………………………………………………6分

所以

解得 …………7分

即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 .…………8分

由韦达定理可得，

由平面几何知识

………9分

所以……10分

设则，当时

故在单调增……11分

因为，所以

因此，的最大值为…………12分