2024阳泉一中高二上学期开学考试数学试题含解析

阳泉一中2023年高二分班考试试题

数学

考试时间120分钟   分值150

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合要求的）

1. 已知实数集为，集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

5. 若正数满足，则的最小值为

A. 9 B. 8 C. 5 D. 4

6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象

A. 向左平移个单位

B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位

D. 向右平移个单位

7. 设非零向量满足，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 棱长为1的正四面体中，点，分别是线段，上的点，且满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分）

9. 不等式成立的充分不必要条件可以是（　　）

A.  B.

C.  D.

10. 已知复数（为虚数单位），则（    ）

A. 的共轭复数的虚部为

B. 为纯虚数

C. 的模为

D. 若在复平面内，向量对应复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为

11. 已知、是随机事件，则下列结论正确的是（    ）

A. 若、是互斥事件，则

B. 若、是对立事件，则、是互斥事件

C. 若事件、相互独立，则

D. 事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率

12. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

13. 已知函数，则________.

14. 已知，，若，则______.

15. 已知，都是锐角，，，则___________．

16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为_______．

四、解答题（6个题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或推演步骤）

17. 集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0}，B＝{x|x＜1或x＞2}，若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18. 已知点A、B、C的坐标分别为、、，.

（1）若，求角的值；

（2）若，求的值.

19. 如图，在棱长为正方体中，点是的中点．

（1）证明：平面;

（2）求三棱锥外接球表面积．

20. 正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：

（1）棱锥的表面积；

（2）内切球的半径.

21. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求值及频率分布直方图中的值；

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

22. 已知向量，，且.

(1)求及；

(2)求函数的最小值，并求使函数取得最小值时x的值.