2022-2023学年四川天府新区太平中学高二毕业班摸底测试（一）数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川天府新区太平中学高二毕业班摸底测试（一）数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解出对数不等式，化简集合A和集合B即可.

【详解】由题可得=，

，

所以，

故选：C.

2．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数运算即可求得复数，再得共轭复数，根据复数的几何意义即可得答案.

【详解】，，，

故在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D．

3．若x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求的最大值.

【详解】如图，先作出不等式组表示的可行域，

由目标函数，得，表示斜率，纵截距为的直线，

因此结合图形分析可知z在点A处取得最小值，

联立直线方程，解得，

可得点A的坐标为，所以.

故选：A．

4．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可.

【详解】因为在上单调递减，所以，

，又，即，

所以.

故选：D

5．某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是07，那么第四位的编号是（    ）

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】C

【分析】根据题意求得组距为，进而求得第四位的编号，得到答案.

【详解】由题意，从40位同学，用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，可得组距为，

因为排在第一位的编号是07，则第四位的编号是.

故选：C.

6．已知，若，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．不存在

【答案】B

【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.

【详解】由题意，，，即.

当，即时，，解得，满足题意；

当，即时，，解得，满足题意.

所以或.

故选：B.

7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据的关系求出，即可得解.

【详解】因为直线与双曲线的一条渐近线平行，

所以，即，

由直线，令，得，

则双曲线的一个焦点为，即半焦距，

由，得，所以，

所以双曲线的方程为.

故选：C.

8．若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.

【详解】因为，所以，

依题意在上恒成立，

所以，令，，

因为在上单调递增，则

所以，即实数的取值范围是.

故选：D

9．在正中，连接三角形三边的中点，将它分成4个小三角形，并将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图形．在内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，根据几何概型分析计算即可．

【详解】将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，如图所示，

则共可分为16个相同的小三角形，白色部分有7个小三角形，黑色部分有9个小三角形，

故在内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是，

故选：B．

10．在连续五次月考中，甲､乙两人的成绩依次为

甲：124，126，132，128，130

乙：121，128，135，133，123

则下列说法正确的是（    ）

A．乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差

B．乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数

C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定

D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为

【答案】C

【分析】A选项，利用极差的定义求解判断；B选项，利用中位数的定义求解判断；C选项，利用平均数和方差判断；D选项，利用古典概型的概率求解判断.

【详解】A选项，甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，故A选项错误；

B选项，甲的成绩的中位数为128，乙的成绩的中位数为128，故B选项错误；

C选项，，两个人的平均成绩相同，

甲的成绩的方差为，

乙的成绩的方差为，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确；

D选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有3次，所以概率为，D选项错误.

故选：C.

11．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），

①异面直线与AF所成角可以为

②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行

③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为

④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等

则上述结论正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

【答案】C

【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对①：因为//，故与的夹角即为与的夹角，

又当与重合时，取得最大值，为；

当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；

又点不能与重合，故，故①错误；

对②：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下：

取的中点为，连接，如下所示：

显然//，又面面，故//面；

又易得//，面面，故//面；

又面，故面//面，

又面，故//面，故②正确；

对③：连接，如下所示：

因为////，故面即为平面截正方体所得截面；

又，故该截面为等腰梯形，又，，

故截面面积，故③正确；

对④：连接，取其中点为，如下所示：

要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，

显然当点分别为所在棱的中点时，不存在这样的点满足要求，故④错误.

故选：C.

12．已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的导数运算性质及函数的单调性即可求得结果.

【详解】由题意得，，

即，

所以，即，

又，所以，故 ，

，可得，

在上，，单调递增；

在上，，单调递减，

所以的极大值为.简图如下：

所以，，.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为          .

【答案】

【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可.

【详解】由题意可得：，

所以向量在向量方向上的数量投影为.

故答案为：.

14．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则          .

【答案】

【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.

【详解】由题意知，

所以曲线在处的切线斜率，

所以，

解得，

故答案为：.

15．直线（为参数）上与点距离等于的点的是         .

【答案】，

【分析】利用的几何意义可得答案.

【详解】当时对应的点为，当时对应的点为

故答案为：，

16．已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为                 ．

【答案】

【分析】转化为圆关于直线对称的圆与椭圆有交点，再根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值大于等于半径，最小值小于等于半径列式可得结果.

【详解】圆关于直线对称的圆为：，

依题意可得圆与椭圆有交点，

又椭圆的右焦点是圆的圆心，

所以，且，又，所以，.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求出函数的单调区间；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，求导，再根据导数的符号即可求得函数的单调区间；

（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最小值.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

令，则或时，令，则时，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

18．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；

(2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和为求解中位数即可；

（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得概率.

【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，

所以，解得；

因为，两组频率之和为，而的频率为，

故中位数在之间，设为，

则，解得，

即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.

（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为，

所以两组人数比值为，

按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，

记这组两个样本编号为，这组编号为，

故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：

设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”

则，

故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为.

19．如图，在四棱锥中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)若，求平面PCD与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．

（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．

因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．

因为PB＝PD，所以PO⊥BD．

又因为AC，平面APC，且，平面APC

所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．

（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．

因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．

又因为PD⊥AB，，平面PDM，

所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．

由（1）知BD⊥PH，且，平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．

由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．

由AP⊥PC，在△APC中，

，所以．

以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

所以，

令得．

设平面的法向量为，

所以，

令得．

设平面与平面的夹角为．

所以，

所以，平面与平面夹角的余弦值为．

20．已知椭圆过点，长轴长为.

(1)求椭圆的方程及其焦距；

(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)，焦距为

(2)证明见解析，定点为.

【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解；

（2）设，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点的坐标，根据已知得到+=0，再把韦达定理代入化简即得证.

【详解】（1）由题得，

所以椭圆的方程为，焦距为.

（2）如图，

直线与椭圆方程联立，

化简得，

，即.

设,，,，则，．

直线的方程为，则，

直线的方程为，则，

因为，所以+=0，

所以，

所以，

把韦达定理代入整理得或，

当时，直线方程为，过定点，

即点，不符合题意，所以舍去.

当时，直线方程为，

过定点.

所以直线经过定点.

21．设，函数．

(1)判断的零点个数，并证明你的结论；

(2)若，记的一个零点为，若，求证：．

【答案】(1)零点个数=1，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据a的取值范围确定函数的单调性，从而判断零点的个数；

（2）将不等式理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.

【详解】（1），令，则，

当时，单调递增，当时，单调递减，，

在处取得极小值也是最小值，，，即单调递增，

当x趋于0时，趋于，，

在内存在唯一的零点，即的零点个数为1；

（2）令是减函数，，

即当时， ，当时，，

由知：；

由（1）的讨论知存在唯一的零点，

当时，，，

，

又，…①，其中，

令，，则；

式即为 ，不等式等价于，

其意义为：当函数与函数 的函数值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；

设 ，

，当时，，当时，，是减函数，

又，时， ，即，

时，当且仅当时等号成立；

即

【点睛】本题第二问的难点在于对不等式的几何解释，即当与的函数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数并判断单调性就顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间 讨论符号.

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若，是曲线C上的两个动点，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先将参数方程转化为普通方程，再根据普通方程转化为极坐标方程的方法即可得到答案；

（2）根据题意设，，得到的表达式并化简，再根据三角函数的性质求出取值范围.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，

又，所以曲线的普通方程为，

又，所以，

所以，即曲线的极坐标方程为.

（2）由，设，，

则，

，

所以当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

所以的取值范围为.