2023届四川省成都市新都区高三毕业班摸底测试文科数学试题含答案

  新都区2023届高三毕业班摸底测试

数学试题（文）

一、选择题

1. 已知集合，，则（   ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

先求出集合，，然后取交集即可.

【详解】

由得，所以，又，

所以，

故选：D.

2. 在中，，，，则角的值为（   ）

A. 或 B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

利用正弦定理求得正确答案.

【详解】

由正弦定理得，，，

由于，所以为锐角，所以.

故选：B.

3. 若为实数，数列，，是等比数列，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

利用等比中项的性质，求解即可.

【详解】

由题意，数列，，是等比数列，

故，解得.

故选：B

4. 已知奇函数，当时，（为常数），则（   ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

利用求得，然后结合函数的奇偶性求得.

【详解】

依题意是奇函数，

由于时，，

所以，，

所以时，，

所以.

故选：C.

5. 已知，，，则（   ）

A. ，，三点共线 B. ，，三点共线

C. ，，三点共线 D. ，，三点共线

答案：

C

解析：

【分析】

根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.

【详解】

对于A：不存在实数，使得，故，，三点不共线；

对于B： ，不存在实数 ，使得，故，，三点不共线；

对于C： ,故 ，所以，，三点共线；

对于D：不存在实数，使得，故，，三点不共线；

故选：C.

6. 已知，，，则（   ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

利用“，分段法”确定正确答案.

【详解】

，

，

，

所以.

故选：D.

7. 已知，，且，则错误的是（   ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据，由结合二次函数可判断A，由可判断B，由和结合基本不等式可判断CD

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：C.

8. 若，则函数的值域为（   ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

对进行降幂化简得，再求出的范围，利用正弦函数的单调性，即可得到值域.

【详解】

∵，∴，

∴当，即时，，

当，即时，，

故的值域为，

故选：A.

9. 在直角中，直角边，的面积为，则的取值是（   ）

A.  B. C. D.

答案：

D

解析：

【分析】

设出另一直角边，由三角形面积求出另一直角边长，利用向量数量积公式进行计算.

【详解】

直角中，直角边，

当为另一直角边时，如图，

则，解得：，

由向量数量积公式可知：，

同理：当为另一直角边时，可得：

故选：D.

10. 已知数列的通项公式为，为数列的前项和，则的值为（   ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据的周期性，分组求和即可.

【详解】

依题意，，，，

∴，

，

，∴ ， ，

由数列的周期性可知，将其每项为一组，先求每组之和，再求总和即可，

，∴ ；

故选：C.

11. 函数，极值点为，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据极值点的导数为及三角函数的基本关系求解.

【详解】

令，

∵的极值点为，∴，，

∴，

故选：A.

12. 已知函数，下列说法正确的是（   ）

A. 的一个周期是

B. 的对称中心是，

C. 在上的最大值是

D. 在内的所有零点之和为

答案：

D

解析：

【分析】

选项AB根据三角函数的性质分析即可；选项C求导分析的单调性求出最值；选项D根据对称性和单调性，数形结合分析即可.

【详解】

选项A：，所以不是的一个周期，A错误；

选项B：的对称中心是，也是的对称中心，所以的对称中心是，B错误；

选项C：，当时，；令解得，所以当即时，单调递减；即时，单调递增，所以，C错误.

选项D：在所有零点即与图像所有交点的横坐标，根据B选项关于中心对称和C选项中的单调性可画出简图：

显然是一个交点，又因为也关于中心对称，所以图像交点关于对称，故零点和为，D正确.

故选：D.

二、填空题

13. 计算：________.

答案：

解析：

【分析】

根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．

【详解】

原式．

故答案为：．

14. 已知数列的前项和，且，则的值为________.

答案：

解析：

【分析】

根据判断出数列是等比数列，进而求得.

【详解】

依题意，，

当时，，，

两式相减并化简得，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：.

15. 在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为________.

答案：

解析：

【分析】

利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】

设，，，则，，

在中，由余弦定理，得

，

在中，由余弦定理，得

，

由于，得，

即，整理，得①，

在中，由余弦定理，得

，即，代入①式化简整理，

得，

由，解得，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为.

故答案为：.

16. 已知函数，，若存在，，使得成立，则下列命题正确的有________.

①当时，， ②当时，，

③当时， ，④当时，

答案：

①③④

解析：

【分析】

由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可.

【详解】

由，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以的大致图象如图所示，

因为，

所以，即，所以，

所以当时，要使越小，则取，所以，所以①正确，

因为与均可以趋向于，所以②错误，

当时，由，得，所以，因为，所以由图可知当时，有，所以，所以③正确，

当时，由图和③可知，则，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，即当时，成立，所以④正确，

故答案为：①③④.

三、解答题

17. 年月日日，素有“数学界奥运会”之称的第届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的，喜欢数学的有人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有人，其他的不喜欢数学.

（1）请完成下面列联表；

（2）根据列联表，判断是否有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？

参考公式：，其中.

临界值表：

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）结合已知条件完成表格；

（2）结合列联表和计算公式，进行独立性检验求解即可.

【详解】

（1）

调查的男生人数为（人），

调查的女生人数为（人），

补全列联表如下：

（2）

，

所以有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.

18. 已知数列，满足，且数列是首项为的常数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知，记数列的前项和为，求证：．

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）由已知可得，即，进而确定；

（2）利用裂项相消法求数列的前项和为，进而得证.

【详解】

（1）

由已知数列是首项为的常数列，

得，即，

所以,；

（2）

，

所以，

因为，所以，

所以.

19. 如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，，，，是正三角形．

（1）求证：；

（2）当四棱锥体积最大时，求四面体的体积和点到平面的距离；

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）取的中点，连接，可证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，即得证；

（2）由题意知当平面平面时，四棱锥体积最大，利用三棱锥体积公式求体积，再由等体积法求点到平面距离.

【详解】

（1）

证明：如图，取的中点，连接，．

∵，，

∴与平行且相等，

∴四边形是平行四边形，

又，∴四边形是矩形，∴．

∴，∴是等边三角形．

取的中点，连接，则．

连接，∵，∴，

∵，，平面，

∴平面，∵平面，∴；

（2）

由（1）知，是等边三角形，∴，

故当平面平面时，四棱锥体积最大．

∵，∴平面，

在等边中，，又,

∴四面体的体积为，

而，，

可求，

而，

解得，即点到平面的距离为.

20. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在上．

（1）求的方程；

（2）过点作直线交于，两点，求面积的最大值.

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）根据椭圆和正方形的对称性，结合代入法进行求解即可.

（2）根据直线是否存在斜率，结合椭圆弦长公式、基本不等式分类讨论进行求解即可.

【详解】

（1）

设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，

所以，因为点在上，所以，又，

解得，，所以的方程为；

（2）

若垂直于轴，则

若不垂直于轴，由（1）知，则设的方程为，代入的方程得：，设，，

所以，，

则有：

，

而点到直线的距离为，

，

显然，若，则.

若，则，

综上 的最大值为.

21. 设函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）求导，分情况讨论导数的正负情况及函数的单调性；

（2）根据极值情况可得，函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，数形结合可得参数范围.

【详解】

（1）

由，得，

令，解得或，

当时，，和时，，单调递增，时，，单调递减；

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，，和时，，单调递增，当时，，单调递减；

综上所述：

当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；

当时，在上单调递增，无减区间；

当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；

（2）

因为函数在处有极值且

所以，即，解得，

当时，，，

令，解得或，

所以函数在处取极小值，即成立；

的单调递增区间为和，单调递减区间为，

所以，，

如图所示，

函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，

数形结合可知，，

解得，

所以的取值范围为.

四、选做题（二选一）

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与交于相异两点，，且，求的值.

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；

（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解

【详解】

（1）

在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；

由得，

又，，所以的直角坐标方程为.

（2）

由（1）知曲线是以为圆心，为半径的圆，曲线为直线，

则圆心到曲线的距离，

因为，所以，

解得：，或.

23. 已知，，，证明：

（1）；

（2）.

答案：

见解析；

解析：

【分析】

（1）利用均值不等式可证该不等式.

（2）利用均值不等式可证，从而可证题设中的不等式.

【详解】

（1）

法一：因为，，

所以.

当且仅当，即时等号成立.

法二：因为，，

所以，当且仅当，即时等号成立.

所以，当且仅当，即时，等号成立.

综上，，当且仅当时，等号成立.

（2）

因，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立.

因为，，，所以，

所以.