江西省九所重点中学2023届高三数学（文）第二次联考联合考试试题（Word版附解析）

★启用前绝密（3月16日）

分宜中学 玉山一中 临川一中

2023年江西省 南城一中 南康中学 高安中学  高三联合考试

彭泽一中 泰和中学 樟树中学

数学试卷（文科）

命题人：樟树中学     高安中学

注意事项：

1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间为120分钟．

2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效．

3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置．

一､    选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集与补集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，全集，，可得，

因为集合，所以.

故选：D.

2. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中假命题为（    ）

A.  B. 的共轭复数为 C. 的虚部为-1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后求解复数的模、共轭复数、虚部及，从而确定假命题

【详解】因为复数，所以z的虚部为-1，的共轭复数为，，，

故假命题为：的共轭复数为，

故选：B

3. 已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项之和是（    ）

A.  B.  C.      D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得函数的图象关于直线对称，再结合函数及数列单调性可得，然后利用等差数列前n项和公式计算作答.

【详解】因为函数对任意自变量都有，于是函数的图象关于直线对称，

数列是公差不为的等差数列，则数列是单调数列，又函数在上单调，

由得，

所以的前项之和是.

故选：B

4. 设为任一实数，表示不超过最大整数，表示不小于的最小整数，例如，，，，那么“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】对于实数，依题意，，而，因此，

若，如取，有，显然，

所以“”是“”的充分不必要条件，A正确.

故选：A

5. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.

【详解】解:由题知,

定义域为,解得,

所以

故为奇函数,

排除A,B;

令

可得,即,

解得,

当时,,

,此时,

故选项D错误,选项C正确.

故选:C

6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（    ）（参考数据：，，）

A. 40倍 B. 45倍 C. 50倍 D. 55倍

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步”的值和“退步”的值，再结合对数与指数运算求解作答.

【详解】依题意，经过200天的“进步”的值为，“退步”的值为，

则“进步”的值与“退步”的值的比，两边取对数得：

，

因此，

所以“进步”的值大约是“退步”的值的55倍.

故选：D

7. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的最小值为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦型函数的图像变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，

所以，

当时，，

因为函数在上单调递增，

所以有，因此的最小值为.

故选：A.

8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，，可得解.

【详解】由，且，所以，即.

又，即.

综上：.

故选:B.

9. 2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（    ）

A.  B. 76cm C. 94cm D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意只需最大，设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.

【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，

设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，

则依题意可得（cm），（cm），，

设，则，且，

，

故

，当且仅当即时等号成立，

故使观赏视角最大，小南离墙距离应为cm.

故选：D.

10. 已知长方体中，底面为正方形且边长为2，侧棱长为4，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设以为球心，为半径的球面与侧面交于两点，因为平面，则所求即为以为圆心，半径为作圆与面的交线，又，，则根据弧长公式即可求得结果．

【详解】设以为球心，为半径的球面与侧面交于两点，

因为平面，平面，所以，

则，故，

所以点为的中点，

，，

因为平面，

则以为球心，为半径的球面与侧面的交线，

即为以为圆心，半径为作圆与面的交线，

在中，，则，所以，

所以弧长为.

故选：C.

11. 已知双曲线的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.

【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，

设双曲线的一条渐近线方程为：，

可得直线的方程为：，

由可得： ，即，

设，，

可得，

即，整理可得：，

即，

由双曲线的定义可得：，

所以，

设直线的倾斜角为，在中，，

，，所以，

所以，

所以，整理可得：，

解得：或（舍），

所以双曲线的离心率为，

故选：A.

12. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】等价于．

令函数，则，故是增函数．

等价于，即．

令函数，则．

当时，，单调递增：当时，，单调递减．

.

故实数a的取值范围为．

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设向量满足，则__．

【答案】

【解析】

【详解】∵||=2，||=|+|=3，∴=4， =9，∴+2•+=9，故2•=﹣4，

故+4•+4=4+36﹣8=32，故|+2|=4，故答案为4．

14. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动.经计算，，，则实数的值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，得到，进而得到方程，即可求解.

【详解】根据题意，把对应的点的坐标代入曲线的方程，

即，

所以

因为，，，

可得，所以.

故答案为：.

15. 写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程_____________．

【答案】或（写出其中之一即可）

【解析】

【分析】首先设切线为，根据题意得到，，即可得到答案.

【详解】由题知：与圆和抛物线都相切的直线存在斜率，

设切线方程，

所以，化简得：.

又，

因为，所以，解得或.

当时，，.

当时，，舍去.

所以切线方程为或.

故答案为：或（写出其中之一即可）

16. 如图C是圆台母线AB的中点，BD是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，点M是弧BD的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______.

【答案】##

【解析】

【分析】将圆台展开为平面图形，结合几何位置关系在中利用余弦定理求解.

【详解】因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，

所以该圆台是由底面半径为2，母线长为4的圆锥所截得，

所以圆锥的侧面展开图的弧长为，

所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，即侧面展开图为一个半圆，

所以圆台侧面展开图为一个半圆环，

沿母线展开如图所示，，.，

由余弦定理可得：.

故答案为: .

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）    必考题：60分．

17. 已知等差数列的前项和为，

（1）求 和．

（2）若数列成等比数列，且，求

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.

（2）根据题意得到，，即可得到答案

【小问1详解】

设等差数列的公差为，由，

得方程组 ，解得.

所以，

.

【小问2详解】

由（1）知，所以.

因为所以数列的公比.

所以，所以.

18. 江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．

（1）完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；

（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．

附：，其中．

【答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定的数据信息完善列联表，再计算的观测值，与临界值表比对作答.

（2）利用列举法结合古典概率、对立事件的概率公式求解作答.

【小问1详解】

依题意，高一男生的人数为，则女生人数为，

而选择全理的人数比不选全理的人数多10人，则选择全理的人数为50，不选全理的人数40，

所以列联表为：

的观测值，

所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．

【小问2详解】

设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为5，6，

从6名学生中抽取2名学生的所有可能结果为：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

不包含女生的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．

所以至少抽到一名女生的概率．

19. 如图，点C在直径为的半圆O上，垂直于半圆O所在的平面，平面．且．

（1）证明：平面平面

（2）若，，异面直线与所成的角是，求三棱锥的外接球的表面积

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明平面，再借助线面平行可得，然后利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.

（2）取的中点M，连接，确定球心为M，再计算球半径及表面积作答.

【小问1详解】

因为点C在半圆O上，为直径，则，而平面，平面，于是，

又平面，则有平面，由知点共面，

又平面，平面平面，平面，

因此，即有平面，又DE在平面ADE内，

所以平面平面

【小问2详解】

由（1）知，，因为，则为与所成的角，即，

则，平行四边形中，，因为平面，则有平面，

平面，则，又，平面，

于是平面，而平面，从而，取的中点M，连接，如图，

因此，则点M是三棱锥的外接球球心，而，

所以三棱锥的外接球表面积.

20. 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．

【答案】（1）   

（2）为定值，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案。

（2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可。

【小问1详解】

设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，

所以，由①得：，将此式代入②得：，

所以，所以或

当时，，，所以不满足题意；

当时，，，所以满足题意．

所以椭圆C的方程为.

【小问2详解】

由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为，

则联立，消去，整理得：，

设，则，，

又，则，

由可得，所以，同理可得，

所以

所以为定值．

21. 设函数．

（1）当时，求在上的最值；

（2）对，不等式恒成立，求实数的范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）通过导数结合三角函数值域可求得最值；

（2）结合（1）及不等式放缩可得满足题意；对于与，找到使不成立的关于的区间，综上可得的范围．

【小问1详解】

时，，.

.

则在上单调递增，故，.

即， .

【小问2详解】

，.

当时，.

由（1）知时，，∴；

当时， ，

∴.即时， ；                  

当时，，时，，不合题意．

当时，

则. 令，则 .

当时，，∴在单调递增，

又，

∴存在使，则当时，.

∴在单调递减，此时，则不合题意

综上．

【点睛】关键点点睛：本题涉及与三角函数有关求函数最值及函数恒成立求参数问题，难度较大.对于含有三角函数问题，常利用结合不等式放缩判断相关导数符号确定函数单调性；求参数范围可利用分类讨论的手段，而分类讨论的标准可由题目前面小问找到相关提示.

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，圆以为圆心且与圆外切．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的参数方程与极坐标方程．

（2）若射线与圆交于点，与圆交于点且，求直线的斜率．

【答案】（1）（为参数），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的转化关系即可;

（2）根据极坐标方程的几何意义，求出直线的倾斜角即可.

【小问1详解】

因圆以为圆心且与圆外切，所以其半径为．

所以圆的普通方程为．

圆的参数方程为（为参数）

由得

由

得圆的极坐标方程为

【小问2详解】

由题意得所以

把代入得

则是的两个根，

所以解得所以

所以所以直线的斜率为

选修4-5：不等式选讲

23. 已知正数满足．

（1）求证：

（2）若正数满足，求证：

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到，，，再利用不等式的性质即可证明.

（2）首先根据三个正数均值不等式得到，再根据证明即可.

【小问1详解】

因为为正数，所以

（当且仅当时，取等号）．

同理可得（当且仅当时取等号），

（当且仅当时取等号）． 因为正数满足，

所以（当且仅当时取等号）

【小问2详解】

因为正数满足．

所以

因为正数满足，

所以

=

（当且仅当时取等号）．