2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末数学试题

一、单选题
1．已知向量与垂直，则实数x的值为（    ）
A． B． C．4 D．10
【答案】A
【分析】由向量垂直，数量积等于直接应用空间向量的数量积坐标运算公式即可.
【详解】向量与垂直，
解得
故选：
2．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（    ）
A．7 B．12 C．21 D．42
【答案】C
【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案.
【详解】由题可知不同的取法的种数为.
故选：C.
3．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，.
故选：B
4．某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（    ）
附：随机变量服从正态分布，则，.
A．23 B．46 C．158 D．317
【答案】A
【分析】求出，可得，则，进而可得答案.
【详解】因为学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布，
所以，
因为，则，
所以，则，
所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为：
（人），
故选：A.
5．在的展开式中，含的项的系数为（    ）
A．6 B．10 C．24 D．35
【答案】B
【分析】分四个因式中有一个因式选常数相乘时，则剩余三个因式都选x相乘求解.
【详解】解：当 选1相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为1；
当 选2相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为2；
当 选3相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为3；
当 选4相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为4；
综上：的项的系数为1+2+3+4=10.
故选：B
6．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ）












A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
【答案】C
【分析】根据平均数的定义及样本中心在经验回归直线方程上，利用残差的定义及样本相关系数的公式即可求解.
【详解】由题意可知，

所以样本中心为，
将点代入，可得，解得，故A正确；
由，得样本中心为，所以回归直线必过点（2，4.4），故B正确；
当时，，
由，得样本点处的残差为，故C错误；
因为样本中心为，
所以
由相关系数公式知， ，将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变，故D正确；
故选：C.
7．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】以为基底表示，利用平方的方法求得.
【详解】依题意可知是的中点，
所以
，
所以

.
故选：D
  
8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B

二、多选题
9．随机变量X服从以下概率分布：
X

1
2
3
P

a
b

若，则下列说法正确的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性质以及方差的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，，则；
，则.
由方程组，解得.
，.
故选：AD.
10．关于二项式的展开式，下列说法正确的有（    ）
A．含的项的系数为
B．二项式系数和为32
C．常数项为10
D．只有第3项的二项式系数最大
【答案】BC
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，
对于A，令，得，
所以含的项的系数为，所以A错误，
对于B，二项式系数和为，所以B正确，
对于C，令，得，
所以常数项为，所以C正确，
对于D，因为二项式的展开式共有6项，
所以第3项和第4项的二项式系数最大，即，所以D错误，
故选：BC
11．下列说法正确的有（    ）
A．若随机变量X～0－1分布，则方差
B．正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1
C．若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1
D．若，，，则事件A与B相互独立
【答案】ABD
【分析】对于，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；
对于，由正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；
对于，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于可判定错误；
对于根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确.
【详解】对于，因为随机变量X～0－1分布，所以，当且仅当即时，等号成立，所以正确；
对于，因为正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为，所以面积为，故正确；
对于,当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于，故错误；
对于，，，则事件A与B相互独立，故正确.
故选：
12．如图，正方形ABCD的边长为2，和都与平面垂直，，点P在棱DE上，则下列说法正确的有（    ）
  
A．四面体外接球的表面积为
B．四面体外接球的球心到直线AE的距离为
C．当点P为DE的中点时，点到平面的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，列方程确定四面体外接球球心的坐标和半径，再求球的表面积判断A，
利用向量方法求球心到直线AE的距离判断B，求平面的法向量，利用向量方法求点到平面
的距离判断C，求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值的最大值判断D.
【详解】因为与平面垂直，平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设四面体外接球的球心的坐标为，则
，
所以，
化简可得，
所以，
所以球心的坐标为，
所以球的半径，
所以四面体外接球的表面积，A正确；
直线的方向向量，又，
所以向量在向量上的投影向量的模的大小为，
所以点到直线的距离为，B错误；
设平面的法向量为，
则，又，，
所以，
取,则，
所以为平面的一个法向量，
若点P为DE的中点，则点的坐标为，
所以，
所以点到平面的距离为，C正确；
设，，则，
又，，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，
设，，则，，
所以，
由基本不等式可得当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当点为棱的靠近点的三分点时，
直线与平面所成角的正弦值的最大，最大值为，D正确；
故选：ACD .
  
【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有四面体的外接球，球的表面积，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与平面的夹角，考查直观想象，数学运算方面的核心素养.

三、填空题
13．计算： .（用数字作答）
【答案】35
【分析】利用组合数公式计算即可.
【详解】.
故答案为：35
14．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为 .
【答案】（答案不唯一，在内均可）
【分析】先求出的范围，然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，
当事件A，B为互斥事件时，，当事件B包含事件A时，，
即，所以，
所以的一个可能的值为（答案不唯一，在内均可）.
故答案为：（答案不唯一，在内均可）
15．在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，，，则直线AM与CN夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据题意，连接，取上的三等分点，使得，连接，，即可得到直线AM与CN夹角为，再结合余弦定理，即可得到结果.
【详解】  
由题意，连接，取上的三等分点，使得，连接，，
因为，则，所以直线AM与CN夹角为，
因为四面体的棱长为，则,，且，
在中，由余弦定理可得，
，则，又因为，则，
且，所以，
因为，
所以
，
在中，由余弦定理可得，.
故答案为：.

四、双空题
16．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为 ，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案.
【详解】由运动次后，所在位置对应坐标为，则运动中有次向右，次向上，由题意可得：其概率；
设质点运动次，所在位置对应的坐标为，则其概率，令，，解得，
故当时，取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为.
故答案为：；.

五、解答题
17．设.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）利用二项式定理即可求解；
（2）利用赋值法即可求解.
【详解】（1）依题意得，，，
∴
（2）令，得，
令，得，
∵，
∴.
18．某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下列联表：

关注
不关注
合计
男性
50
50
100
女性
30
70
100
合计
80
120
200
(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为，求的概率分布和数学期望.
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有
(2)分布列见解析，数学期望为1

【分析】（1）根据表中的数据利用公式求解，再根据临界值表进行判断即可，
（2）由题意知的可能取值为：0，1，2，3，而，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得的概率分布和数学期望.
【详解】（1）提出假设：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.
由列联表中的数据可得：，
因为当成立时，，这里的，
所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.
（2）由题意知的可能取值为：0，1，2，3.因为，
所以，其中0，1，2，3，
故的概率分布表为：

0
1
2
3
P




所以，
所以随机变量的数学期望为1.
19．某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
(1)男选手甲必须参加，且第4位出场；
(2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
(3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
【答案】(1)144
(2)144
(3)1008

【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法.
20．设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为.
(1)求的值；
(2)在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得的值.
（2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，
事件：从甲袋中取出2个白球，
事件：从甲袋中取出1个红球和1个白球，
事件：从乙袋中取出2个红球，
事件：从乙袋中取出1个红球和1个白球.
因为，
所以，所以（负舍），故的值为2.
（2），
，.
所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为.
21．如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：
  
(1)求二面角所成角的正弦值；
(2)点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围.
条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为.
【答案】(1)
(2)

【分析】首先以为一组正交基底，建立空间直角坐标系.
若选①②，通过条件①②，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可；若选①③，通过条件①③，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可；
若选②③，通过条件②③，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可；
解法一：根据条件确定点的轨迹，设出点的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围；
解法二：利用三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围.
【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC，
所以，，又.
以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，（，），
则，，，，，.
  
选①②
因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 则又由①得平面的面积为，
由②得，
解得，.所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，，取，则，
设平面的一个法向量为，
则,，取，则，
设二面角所成角的平面角为，
所以，因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为.
选①③
因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，.
又由①得平面的面积为，
由①③得，即，解得，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，，取，则，
设平面的一个法向量为，
则,，取，则
设二面角所成角的平面角为，
所以
因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为.
选②③，
由②得，
由②③得，即，解得，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，，取，则，
设平面的一个法向量为，
则,，取，则
设二面角所成角的平面角为，
所以，
因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为.
（2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
      
所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以，
因为，，所以，所以，
设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知
，
因为，所以，
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为.
解法二：设，
由得，
因为，所以，即，所以.
设CP与平面所成角为，，
又由（1）知，平面的一个法向量为，
所以，，因为，所以.
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故答案为：；.
22．某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如下表所示.
x
3
4
5
6
6
7
8
9
y








(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）；
(2)某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，其中c为单个零件的加工成本（单位：元），且.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？
附：（1）参考数据：，.
（2）参考公式：，，.
（3）若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】(1)
(2)8元

【分析】（1）由，可求出，然后求出，然后利用相关系数求出可求出，再由求出，从而可求出线性回归方程；
（2）未引进新的工业软件前，由，得，，再由可得，从而可求出，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的，从而可进行判断.
【详解】（1）由，得，
即，由，得（负舍）.
因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
所以，y关于x的线性回归方程为.
（2）未引进新的工业软件前，，所以，
又，即，
所以，所以（元）.
引进新的工业软件后，，所以，，
若保持零件加工质量不变，则，所以（元），
因为（元），
所以单个零件加工的成本下降了8元.