2022-2023学年湖南省彬州市高二下学期期末数学试题Word版

郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学

（试题卷）

注意事项：

1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共4页，有四大题，22小题，满分150分.考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名､班次､准考证号､考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.

3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数等于（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知抛物线上一点到轴的距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（    ）

A.4    B.6    C.8    D.10

4.已知数列中，且，则（    ）

A.±2    B.2    C.4    D.±4

5.“绿水青山就是金山银山”，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为.排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（    ）（参考数据）

A.7    B.8    C.9    D.10

6.若非零向量满足，则与的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ）

A.36    B.48    C.72    D.120

8.已知函数，若，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题（共4个小题，每小题5分，共20分.每小题至少两个正确选项，漏选得2分，错选不得分）

9.下列说法正确的是（    ）

A.数据的第25百分位数是2

B.“事件对立”是“事件互斥”的充分不必要条件

C.若随机变量服从正态分布，且，则

D.若随机变量满足，则

10.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数图象的一个对称中心是

C.函数在上单调递增

D.函数在上的最小值是

11.如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列判断正确的是（    ）

A.平面

B.三棱锥的体积为

C.三棱锥外接球的表面积是

D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为

12.已知函数的定义域为，函数为偶函数，且是的导函数.则下列结论正确的是（    ）

A.是周期为2的周期函数

B.的图象关于直线对称

C.的图象关于直线对称

D.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知双曲线的焦距为4，则双曲线的离心率为__________.

14.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________.

15.直线被圆截得的弦长为__________.

16.已知函数与的图象上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知的内角的对边分别为，若.

（1）求角；

（2）若，求.

18.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且.

（1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

19.如图，四棱锥中，为正三角形，，为棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求面与面的夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能和身心健康.为给民众提供丰富的健身器材，某厂家生产了两批同种规格的羽毛球，第一批占产量的，次品率为0.05；第二批占产量的，次品率为0.04.

（1）从混合的两批羽毛球中任取1个，已知取到的是合格品，求它取自第一批羽毛球的概率；

（2）从混合的两批羽毛球中有放回地连续抽取3次，每次抽取1个，记3次抽取中，抽取的羽毛球是第二批的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.

21.（本小题满分12分）

已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知两点的坐标分别为，过点的直线与（1）中点的轨迹交于两点（与不重合）.证明：直线与的交点的横坐标是定值.

（22.本小题满分12分）

已知函数，其中为小于0的常数.

（1）试讨论的单调性；

（2）若函数有两个不相等的零点，证明：.

郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学参考答案和评分细则

（命题人：安仁一中 康永艳 桂阳三中 陈旭 棚州三中 李兰兵

审题人：桞州二中 李云汤 棚州市十五中 黄文华 市教科院 汪昌华）

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1-5BACDB    6-8CAD

二､多选题（共4个小题，每小题5分，共20分.每小题至少两个正确选项，漏选得2分，错选不得分）

9.BC    10.BC    11.ABD    12.BCD

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.    15.    16.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（1）

.

.

（2）由，得.

，即角一定是锐角.

，又.

所以.

18.（1）当时，，解得，

当时，.

可得，整理得，

从而，

又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.

所以，故，

综上，数列的通项公式为.

（2）由（1）得，所以，又，

，

，

两式相减得

.

19.（1）取中点，连接.

为中点，，又，

为平行四边形，

.又为正三角形，

，从而

又平面，又平面，

平面平面.

（2），又平面.

平面，

.

以为原点，如图建立空间直角坐标系.则，

设为平面的法向量，为平面的法向量

则

令，得，令，

得

即面与面的夹角的余弦值为.

20.设事件“任取一个羽毛球是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且互斥.

（1）由全概率公式可知，

.

由贝叶斯公式可知.

（2）由条件可知的可取值为.

，

，

.

所以的分布列为：

.

21.解析：（1）依题意，，圆的半径为4.

于是，且，故点的轨迹为椭圆.

.

所以点的轨迹方程为：.

（2）依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为：

代入椭圆方程得：.

所以①，②

又直线的方程为：，直线的方程为：

联立上述两直线方程得：，

即，

将①②代入上式得：，解得.

所以直线与的交点的横坐标是定值4.

22.（1）解：.

因为，所以.于是

时，在上单调递增；

时，在上单调递减.

（2）由（1）知：

函数在上单调递增，在上单调递减.

若函数有两个不同的零点，

则，故.

又时，，且.

于是函数有两个不同的零点，且两零点分别位于区间.

不妨令.

（其中）.

因为，

所以函数在上单调递增，所以，即.

又因为，所以，

而，所以，

因为，函数在上单调递减，