2022-2023学年湖南省彬州市安仁县第一中学高一上学期第七次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省彬州市安仁县第一中学高一上学期第七次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解方程求得集合，由并集定义可求得结果.

【详解】，.

故选：.

2．已知：，：，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求对应的x范围，结合对应的范围，判断、的充分、必要关系.

【详解】由得：，即：，而：，

∴是的既不充分也不必要条件.

故选：D

3．已知,,则的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 ,选B

4．若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是

A．1 B． C．9 D．16

【答案】B

【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.

【详解】∵，∴，

又∵，，

∴

，

当且仅当，

即，时取等号,

的最小值是,故选B.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和值域即可判断.

【详解】 所以为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除B，

当 时， 故排除 A，当 时， 故排除 D

故选：C .

6．设已知函数如下表所示：

则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图表数据，判断取不同值是否满足即可得解集.

【详解】当，则，，而，不满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，不满足；

所以不等式的解集为.

故选：C.

7．已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性即可解不等式．

【详解】由已知，解得，

故选：D

8．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（    ）

①函数的定义域为；

②；

③函数的图象关于直线对称；

④当时，；

⑤方程有四个不同的根.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式分母不为零可求得定义域，知①错误；利用解析式可求得，知②正确；通过可知③错误；分别在和的情况下得到，知④正确；作出与的图象，根据图象交点个数可知⑤正确.

【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；

对于②，，，②正确；

对于③，，，，

不关于直线对称，③错误；

对于④，当时，，此时；

当时，，此时；

综上所述：当时，，④正确；

对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，

由图象可知：与有四个不同交点，

方程有四个不同的根，⑤正确.

故选：B.

二、多选题

9．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】AC

【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．

【详解】解：由题意得，或，

若，即，

或，

检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；

当时，，与元素互异性矛盾，舍去．

若，即，

或，

经验证或为满足条件的实数．

故选：AC．

【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．

10．下列说法正确的是（    ）

A．“，”的否定是“，”

B．函数的最小值为6

C．函数的单调增区间为

D．的充要条件是

【答案】ACD

【解析】根据含全称量词、存在量词的命题的否定形式可判断A选项是否正确；

根据基本不等式及等号成立的条件可判断B选项是否正确；

利用复合函数单调性“同增异减”可判断C选项的正误；

构造函数利用单调性判断D选项是否正确．

【详解】对于A选项，由特称命题的否定形式可知，A选项正确；

对于B选项，若利用基本不等式有，等号不能成立，故B选项错误；

对于C选项，因为函数为递减函数，若递增时，只需使函数递减，且，解得，故C正确；

对于D选项，设函数，则函数上递增，在上也递增，故为上的单调增函数，所以时；当时，有. 故的充要条件是，D选项正确．

故选：ACD.

11．若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】令，问题转化为判断在上是增函数，分别对各个选项判断即可．

【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，

则，

令，则，，，且，

在上是增函数，

对于，则，对称轴是，

故在递增，在递减，故错误；

对于，则，是对勾函数，

故在递增，故正确；

对于，故，对称轴是，

故在递增，故正确；

对于，则，

故在递减，故错误；

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于恒成立可转化为新函数满足上恒成立，即在上是增函数，属于中档题．

12．已知，均为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】对A，利用基本不等式即可解得；

对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；

对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；

对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.

【详解】因为，均为正实数，且，

对A, ，当且仅当时取“=”，正确；

对B， ，当且仅当时取“=”，错误；

对C，

，当且仅当时取“=”，正确；

对D，

，设，

则上式，

当且仅当时取“=”，正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．

【答案】或

【解析】条件可转化为方程至多有一个根，然后分和两种情况讨论即可.

【详解】因为集合中至多有一个元素

所以方程至多有一个根，

当时解得，满足题意

当时，，解得

综上：或

【点睛】解答本题时一定要注意讨论的情况，否则就会漏解.

14．若幂函数在上为增函数则_____．

【答案】3

【解析】利用幂函数的定义与性质求得，将代入，利用对数的运算法则化简得解.

【详解】在上为增函数，

，解得(舍去），

故答案为：3.

【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键.

15．若，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】函数为偶函数，且当时，单调递增，

则可得，

解得或

即的取值范围是

故答案为:

16．对于定义在区间上的函数，若满足对且时都有，则称函数为区间上的“非增函数”．若为区间上的“非增函数”且，，又当时，恒成立．有下列命题：

①； ②当且时，；

③；④当时，．

其中你认为正确的所有命题的序号为________．

【答案】①③④

【分析】由定义求得，再根据定义判断①，直接根据定义判断②，由定义计算出，结合不等式的性质，并得出时，，从而判断③，时，，由定义得出，从而可判断④．

【详解】对于①，，且，取，得，对，根据“非增函数”的定义知，所以①正确；

对于②，由定义可知，当且时，由定义可知与可能相等，所以②不正确；

对于③，由，当时，恒成立， ，

又，而，即，同理有，

当时， 由“非增函数”的定义可知，即，，所以③成立；

对于④，当时，函数为区间上“非增函数”，而时，，，，所以④正确，

故答案为：①③④.

【点睛】方法点睛：本题考查函数的解析与单调性、以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“非增函数”达到考查函数的解析与单调性的目的.

四、解答题

17．已知集合．

（1）求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）求出，解不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；

（2）由题得，再对集合分类讨论得解.

【详解】（1），或，

，

或.

（2）因为，所以.

当时，则，解得，符合题意；

当时，则，解得.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】易错点睛：本题考查集合的基本运算及利用集合的包含关系求参数，研究集合的关系和运算问题时，不要忘记了空集，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

18．（1）求值++；

（2）设求的值.

【答案】（1）123（2）1

【解析】（1）利用指数式与对数式的运算性质即可求解.

（2）首先利用指数式与对数式的互化求出，再由对数的运算性质即可求解.

【详解】解：（1）++

=2233+34+

=108+12+3=123

（2）依题意有

【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、指数式与对数式的互化，属于基础题.

19．已知二次函数，且满足条件：①不等式的解集为；②函数的图象过点．求：

(1)求函数的解析式；

(2)设，若函数在区间上的最小值为3，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得出关于的方程组，解之可得；

（2）根据二次函数的对称轴分类讨论求得在区间上的最小值，从而可得参数值．

【详解】（1）条件①：因为不等式的解集为，所以，即．

条件②：函数的图象过点，所以．

所以，则，此时．

（2）由（1）知，其对称轴为，

（i）当，即时，，解得；

(ii)当，即时，，解得（舍）；

(iii)当，即时，，无解．

综上所述，所求实数的值为．

20．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）

(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

【答案】(1)

(2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元

【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可，

（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可

【详解】（1）当时，

，

当时，

，

所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为

（2）当时，，

所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，

当时，

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，

因为，

所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元

21．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数，求：

(1)当时，求函数的不动点；

(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）当时，解方程，得到不动点；

（2）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围

【详解】（1）当时，，因为为不动点，

因此，即，解得或，

所以的两个不动点为；

（2）因为恒有两个不动点，方程有两个相异实根，

即，由题设恒成立，

即对于任意恒成立，

令，则由对于任意实数，恒成立可得，

，解得，

故的取值范围是．

22．设函数f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).

（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围；

（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）2.

【分析】(1)由f(1)<0导出，再探讨函数f(x)的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；

(2)由求出，借助换元的思想将函数g(x)转化成二次函数问题即可作答.

【详解】（1），即，而，则，解得，显然在上单调递减，

又，于是得在上是奇函数，

从而有等价于，

由原不等式恒成立可得，即恒成立，亦即，解得：，

所以实数的取值范围是：；

（2），即，而，解得：，

所以，

令，显然在上单调递增，则，

，对称轴为，

当时，，解得或(舍)，则，

当时，，解得：不符合题意，

综上得，

所以实数m的值为2.