2022-2023学年广东省肇庆市封开县广信中学等几校高二下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年广东省肇庆市封开县广信中学等几校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．0 B．6 C．12 D．18

【答案】C

【分析】利用排列数公式和组合数公式直接计算即可

【详解】因为，，

所以，

故选：C.

2．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由结合定义域即可解出．

【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．

故选：B．

3．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（    ）

A．81 B．64 C．14 D．12

【答案】B

【分析】每一个小球有4种不同的放法，再根据分步计数原理可得答案.

【详解】解：对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有种放法，

故选：B.

4．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.

【详解】对A，，为奇函数；

对B，，为奇函数；

对C，，为偶函数；

对D，，既不是奇函数也不是偶函数.

故选：C.

5．函数在区间上的最大值为

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值.

【详解】解：由题意可得

当时，；当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以

故选：B.

【点睛】求函数区间上的最值的步骤：

（1）求导数，不要忘记函数的定义域；

（2）求方程的根；

（3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定函数的极值.

（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值.

6．一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（    ）

A．24 B．12 C．120 D．60

【答案】A

【分析】根据题意，分3步分析：先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，

先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，

有种不同放法，

故选：A．

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由已知得函数的定义域为,

因为，所以为奇函数，

则排除、,

当时，；则在上单调递增，

则排除,

故选:.

8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数的单调性，即可根据单调性的定义解出．

【详解】因为，所以，即函数单调递增，由可得，，解得．

故选：D．

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD

【详解】令得，，故A正确；

因为的通项为，所以，故B正确；

令，则，

又，所以，故C错误；

令，则，故D正确；

故选：ABD

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．f(x)在上单调递增

B．f(x)有4个极值点

C．f(x)在上单调递减

D．

【答案】AC

【分析】根据给定导函数图象，确定导数值大于0、小于0的区间即可分析判断作答.

【详解】观察图象知，当时，，当时，，

函数在上单调递增，而，则在上单调递增，A正确；

在上单调递减，而，在上单调递减，C正确；

函数在处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，B不正确；

因当时，，当且仅当时取“=”，即在上单调递减，

而，则有，D不正确.

故选：AC

11．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）

A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法

C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.

【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；

男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；

男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；

三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.

故选：AC

12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ）．

A．

B．第2022行的第1011个数最大

C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3

【答案】ACD

【分析】按图索骥，再加一点计算就可以了.

【详解】，，

故A正确；

由图可知：第n行有n个数字，如果n是奇数，则第（最中间的）个数字最大；如果n是偶数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，故错误；

第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第8个数字就是36，故C正确；

依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，

所以，故D正确；

故答案为：ACD.

三、填空题

13．在的展开式中，的系数为         . （用数字作答）

【答案】

【分析】由二项式展开式的通项即可求得答案.

【详解】因为展开式的通项为，当时，，所以的系数为.

故答案为：-10.

14．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为        .

【答案】.

【分析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，

设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，

则，，

所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:

.

故答案为：.

15．已知，则        ．

【答案】-960

【分析】将改为，利用二项式展开式的通项公式求出通项，令的指数为7即可.

【详解】，

其展开式的通项为，

令得

故答案为：-960

16．如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为      .

【答案】260

【分析】首先分类，分相同和不同两类，再按照分计数原理，计算结果.

【详解】第一种情况，当相同时，有种方法，

第二种情况，当不同时，有种方法，

综上可知，共有种方法.

故答案为：

四、解答题

17．已知曲线.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.

【答案】(1)

(2)和.

【分析】（1）对曲线求导,求出点处切线的斜率,再求出切线方程;

（2）设切点为,由曲线的切线斜率为1,求出切点坐标,再求出切线方程.

【详解】（1）由,得，

∴在点处切线的斜率.

∴曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）设切点为，则切线的斜率为.

曲线的切线斜率为1,,解得，

切点为，.

切线方程为和，

即和.

18．已知在二项式的展开式中，含的项为.

(1)求实数a的值；

(2)求展开式中系数为有理数的项.

【答案】(1)

(2)，，1

【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，再利用指定项列式计算作答.

（2）利用（1）的结论及通项公式，分析的指数即可作答.

【详解】（1）的展开式的通项公式为：，

当时，展开式中含的项为，即，解得，

所以实数a的值为1.

（2）由（1）知，的展开式的通项公式为：，

依题意，为整数，因此，3，5，

当时，，当时，，当时，，

所以展开式中系数为有理数的项为，，1.

19．已知函数，．

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．

【答案】(1)的极小值为，极大值为11；

(2).

【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.

（3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答.

【详解】（1）当时，函数定义域为R，，

当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增，

因此当时，取得极小值，当时，取得极大值，

所以的极小值为，极大值为11．

（2）函数，，求导得，

因为，则由得，显然，

当时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

而，，则函数在上的最小值为，解得，

所以实数a的值为1.

20．已知函数

(1)若函数存在两个极值点，求的取值范围；

(2)若在恒成立，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；

（2）在恒成立，即，转化为求的最大值，利用导数即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以

因为函数存在两个极值点，

所以有两个不同的解，

所以，解得或

（2）在恒成立，即恒成立，

令，则

因为，

设，

在上都递减，

所以在上递减，

所以，当时，，此时，在上递增，

当时，，此时，在上递减，

所以，

所以， 即

21．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，．

(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；

(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；

（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.

【详解】（1）记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，

则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，

则

．

故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是．

（2）记事件B为购买的电器合格，

记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，

，，，，，，

．

故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为．

22．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.