2022-2023学年广东省广外、广附、铁一三校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广外、广附、铁一三校高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

2．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.

【详解】由题意得

,

∵为纯虚数

∴且，∴，

另解：设（），则，

即，，

∴，

故选：D.

3．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，再根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以，，，

即，，，

所以

故选：D

4．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面

B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

C．若对空间中任意一点，有，则四点共面

D．若，则的夹角是钝角

【答案】C

【分析】根据向量的定义以及运算规则逐项分析可以求解.

【详解】解：对A，若两个向量是共线的，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，故错误；

对B，因为 ，所以共面，不能构成基底，错误；

对C，对 ，则四点共面，

由可得 ，

且，所以四点共面，正确；

对D，若可为，所以不一定为钝角，故错误；

故选：C

5．若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（    ）

A．4 B．6

C．3＋1 D．8

【答案】D

【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.

【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6].

故选：D.

6．已知定义在上的奇函数，对任意的都有，且当时，，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据条件先求出函数是周期为4的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．

【详解】由，得，

则函数是周期为4的周期函数，

则，

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合条件判断函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．

7．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.

【详解】设，，则有，两式作差得：，

即，

弦中点坐标为，则，

又∵，∴，∴，

又∵，∴可解得，，

故椭圆的面积为.

故选：C

8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；

【详解】解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；

∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，

则，∴A、D正确，

故选：ABD.

10．函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（    ）

A．2π B． C．3π D．

【答案】BC

【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】解：函数，

，．

又函数在上恰有两个最大值点，

，解得．

故选：BC．

11．如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ）

A．平面

B．平面

C．存在点，满足

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】对于A，在平面找一条直线，使其与平行即可；

对于B，先由证明四点共面，再证四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；

对于C，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；

对于D，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可.

【详解】对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确；

对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确；

对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系.

则，，，

，，，

，

若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确；

对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，，

，，在中，

，，故D正确.

故选：AD

12．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则在上单调递减 B．若，无最大值，也无最小值

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】利用函数的单调性，极限，不等式的性质及函数最值，逐一判断即可.

【详解】若，则且，

，，

则，故在上单调递减，故A正确；

若，则当且趋于时，趋于；当且趋于时，

趋于，故无最大值，也无最小值，故B正确；

若，则当时，，故，

即，故C正确；

 若，举反例：，则，故.

事实上，当时，，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．求值：___________

【答案】

【分析】利用对数的运算性质化简可得结果.

【详解】原式.

故答案为：.

14．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为____________．

【答案】

【分析】过点A作，垂足为B，记点B坐标为，利用和列方程组求解可得.

【详解】过点A作，垂足为B，记点B坐标为，

则，

所以

解得，，，

则，即点到l的距离为.

故答案为：

15．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．

【答案】(，]

【分析】设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.

【详解】设，由，知，

因为，在椭圆上，，

所以四边形为矩形，；

由，可得1，

由椭圆的定义可得，  ①，

平方相减可得②，

由①②得；

令t，

令，

所以，即，

所以，

所以，

所以，解得.

故答案为： .

16．某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形框架，在圆O的劣弧上有一点P，现在从点P出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为____________．

【答案】

【分析】连接BD，DP，设，利用直径所对圆周角为直角，以及三角函数定义表示出所求，然后利用辅助角公式化简可解.

【详解】如图．连接，设，则，

在中，，在中，

所以

，其中，

所以，由的范围可以取到最大值．

故答案为：

四、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，､分别为､的中点，

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用线面平行的判断定理以及面面平行的判定定理证得命题成立；

（2）由，利用三棱锥的体积公式求解即可．

【详解】（1）证明：由已知，且为直角，为的中点，，故是矩形，，平面，

又∵，分别为，的中点.∴，∴平面

又∵，所以平面平面.

（2）设到平面的距离为

∵面，是的中点

∴

∴

∴三棱锥的体积为

【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积公式，考查学生计算能力，证明面面平行的一般方法如下：

1.如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。

3.根据两个平面平行的定义，证明两个平面没有公共点。

18．如图，在中，是上一点，平分.

(1)求证：；

(2)若，，，求的内切圆面积.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）易知，，则，，在和中，分别利用正弦定理即可得证；

（2）在中，利用余弦定理求得，再利用平方关系求得，再利用二倍角的正弦公式求得，再根据，求得，再根据（1）可求得，设的内切圆的半径为，根据求得内切圆的半径，从而可求得答案.

【详解】（1）解：因为平分，所以，

在中，因为，

所以，

在中，因为，

所以，

又因，，

所以，，

所以，即；

（2）解：在中，

，

则，

所以，

因为，

所以，

即，所以，

因为，所以，则，

设的内切圆的半径为，

则，

即，解得，

所以的内切圆面积为.

19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：

（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；

（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.

（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.

【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率

【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为

数据的众数为

数据的极差为

估计这批鱼该项数据的百分位数约为

（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则

记“两鱼最终均在水池”为事件，则

∵事件与事件互斥，

∴两条鱼最终在同一水池的概率为

（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为

事件，依次类推；而两鱼的游动独立

∴

记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥

∴

即

【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生

20．已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)若，求证：；

(2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意可证平面BDG，可得，得证平面ACE，得，再根据面面平行的性质可证；（2）根据题意可得，，利用空间向量求二面角．

【详解】（1）连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴，

由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，

又，BD，平面BDG，

∴平面BDG，因为平面BDG，

∴

已知，又，AC，平面ACE，

∴平面ACE，

因为平面BDG，∴

∵平面平面CFGD

平面平面，平面平面，

∴，则

（2）已知，，可求，

由，则

在直四棱柱中，底面ABCD，

所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则

在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

则

设平面BCE的法向量为，

则

取，得，，得，

由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为

则，

所以锐二面角的余弦值为

21．已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4.

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率；

（3）若k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.

【答案】（1）x2+y2=4；（2）±；（3）过定点.

【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；

（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；

（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为tx+y-4=0，结合直线系方程，即可得到所求定点．

【详解】解析（1）设点P的坐标为（x，y），则由|PA|=2|PB|，得=2，平方可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1），

整理得，曲线E的方程为x2+y2=4.

（2）直线l的方程为y=kx-4，

依题意可得为等腰直角三角形，

则圆心到直线l的距离d==·|CD|=，∴k=±.

（3）由题意可知，O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，

设Q，以OQ为直径的圆的方程为，

即

又M，N在曲线E：x2+y2=4上，

∴MN的方程为tx+y-4=0，

即t-4（y+1）=0，

由得

∴直线MN过定点.

22．设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)结合已知条件，将可得到一个关系式，然后再结合求出半焦距，最后再结合即可求解；(2)首先设出直线的方程，然后利用直线与椭圆相切求出与的关系，再通过联立直线间的方程表示出直线与点的纵坐标，并表示出和，进而表示出，最后利用换元法和均值不等式即可求解.

【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，①

因为点在椭圆外，且，所以，即，②

由①②解得，，

故椭圆的方程为．

（2）设点，，设直线：，

由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，，

将直线代入方程并化简可得，，

即，

因为直线与椭圆有且仅有一个交点，

所以，即．

直线的方程为：；直线的方程为：，

联立方程得，同理得，

所以，

所以，，

所以

，

令，则，

当且仅当，即时，不等式取等号，

故当时，取得最小值．