2022-2023学年福建省永春第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省永春第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合的包含关系求解即可.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：C

2．已知复数z满足,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将当作未知数解出来,再化简即可.

【详解】由得

故选:A.

3．若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】B

【分析】由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.

【详解】在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，

于是得展开式的通项为，

令，得，常数项为.

故选：B

4．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（    ）

A．20 B．16 C．27 D．9

【答案】A

【分析】利用平面相似的有关知识即可解出．

【详解】由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而．

故选：A．

5．在中，点是边上一点，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量共线定理设，，通过线性运算得，结合题目条件得到方程组，解出即可.

【详解】作出如图所示图形：

三点共线，故可设，，

则，

，，解得.

故选：D.

6．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正切型函数的对称性可得出的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.

【详解】因为函数的图象的一个对称中心为，

所以，，可得，

，则，故函数的最小正周期为，

当时，可知函数的一个最小正周期为.

故选：C.

7．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（    ）

A．3 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】先由函数为偶函数求出的值，即可写出的解析式，然后令，则，最后利用二次函数的图象与性质分情况求出的值，即可求得结果．

【详解】解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，

令，则．易知在上是增函数，所以．

因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，

当时，，解得或（舍去）；

当时，，不合题意，舍去．

综上，，

故选：D．

8．已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设该双曲线的左焦点为，分析可知四边形为矩形，利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】因为双曲线的右焦点为，所以，设该双曲线的左焦点为.

由题意可知为、的中点，则四边形为平行四边形，

因为，所以，四边形为矩形，所以，，

由的面积为，得，则.

又，则，

所以.

则由双曲线的定义可得，所以，则离心率.

故选：C.

二、多选题

9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（    ）

A．该组数据的平均数为 B．该组数据的中位数为13

C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15

【答案】ABD

【分析】根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．

【详解】将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，

对于A，该组数据的中位数为，故A正确；

对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；

对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；

对于D，该组数据的极差为，故D 正确．

故选：ABD．

10．已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ABC

【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的.

【详解】①

②

②①得，

，当时，，当时，，满足上式，

故，

，

故，

，

故.

故选：ABC.

11．在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，，的中点，则（    ）

A．AC⊥BP

B．⊥平面EFPQ

C．平面平面EFPQ

D．直线CE和所成角的余弦值为

【答案】AC

【分析】A选项，作出辅助线，得到AC⊥BD，，得到线面垂直，证明出AC⊥BP；B选项，假设⊥平面EFPQ，推出矛盾，B错误；C选项，作出辅助线，得到，，证明出面面平行；D选项，作出辅助线，找到异面直线CE和所成角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.

【详解】对于A，如图1所示，因为AB＝BC，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

又因为几何体为长方体，所以⊥平面ABCD，

因为平面，所以，

又因为，平面，

所以⊥平面，又因为平面，

所以AC⊥BP，故结论正确；

对于B，如图2所示，

假设⊥平面EFPQ.

因为平面EFPQ，所以⊥.

因为P，Q分别为棱，的中点，所以四边形为平行四边形，故，

所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；

对于C，如图3所示，连接BD，，，，由条件可知，

因为平面，平面，所以平面，

又，，

所以，

因为平面，平面，所以平面，

又因为，平面，

所以平面平面EFPQ，故结论正确；

对于D，如图4所示，

在CD上取靠近D的一个四等分点G，连接FG，，取中点，连接，

则是的中点，所以，

又四边形为平行四边形，所以，故，

所以CE和所成角即为或其补角，设，则AD＝CD＝2，

由勾股定理得，，

，

所以，故结论错误.

故选：AC.

12．已知实数a,b满足:且,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可.

【详解】解:由题知,

当且仅当时取等,

故有:

关于选项A,构造

,

所以在上单调递增,

,

即,

故选项A正确;

关于选项B,

不妨取代入,

可得不成立,

故选项B错误;

关于选项C,

,

,

故选项C正确;

关于选项D,

构造,

令,

在单调递减,

当时，,

,

即

即单调递减,

,

即,

,

,

,

故选项D正确.

故选:ACD

三、填空题

13．过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与在第一象限内交于点A，点，若，则        .

【答案】4

【分析】确定抛物线的焦点坐标，求得，根据列式计算，可得答案.

【详解】由题意可知，令，则，故，

由，得：，

故答案为：4

14．写出曲线过点的一条切线方程          ．

【答案】或（写出其中的一个答案即可）

【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.

【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．

因为，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

因为当或时，；当时，，

所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．

故答案为：或（写出其中的一个答案即可）

15．如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为        ．

【答案】96

【分析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，再由柱体的体积公式计算即可得出答案.

【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，

使，所以V几何体＝V三棱柱.

故答案为：.

四、双空题

16．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则          ，为数列的前项和，则          .

【答案】     1     4718

【分析】根据所给定义列出数列的前几项，即可得到数列是周期数列，且周期为，从而求出，再根据并项求和法计算可得.

【详解】空①因为，且，所以，，.

空②，又，所以，

即，

所以数列是以3为一个周期的数列，所以.

故答案为：1；4718.

五、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知

(1)求的值；

(2)若，则的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求，然后利用正弦定理和求即可；

（2）利用余弦定理和得到，然后利用面积公式求面积即可.

【详解】（1）由于，则，因为，

由正弦定理知，则.

（2）因为由余弦定理，得，

即，解得，而，

所以的面积.

18．已知数列的前项和，，，．

(1)计算的值，求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；

（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；

【详解】（1）解：当时，，解得，

由题知①，②，

由②①得，因为，所以，

于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，

即，

偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，

即

所以的通项公式；

（2）解：由（1）可得，

.

19．在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.

(1)求证：平面;

(2)若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据题意由面面平行,证明线面平行即可;

(2)由可得到底面的长度和角度,由与平面所成角为可得到母线长,通过建立直角坐标系,求两个面的法向量,进而求得二面角大小的余弦值.

【详解】（1）证明:为圆的直径,是上的两个三等分点,

,

,

均为等边三角形,

,

四边形是平行四边形,

,

又平面平面,

平面,

平面平面,

平面,

,

平面平面,

平面,

平面.

（2）连接,则圆,

,

,

又,

以为原点,所在直线分别为轴,建系如图示:

则,

,

设平面的法向量,

,

令则,

而平面的法向量为,

,

即二面角的余弦值

20．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i名学生的成绩为，其中，分别为第i名学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：

(1)根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．

参考数据：，，．

(2)规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀．对优秀赋分1，对不优秀赋分0．从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关；说明见解析

(2)分布列见解析；期望为

【分析】(1)根据公式计算出的值后可得出结果；

(2)由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4，然后求出概率，再用期望公式可求解.

【详解】（1）由题意，，

所以“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关．

（2）由题意得：X的可能取值为0，1，2，3，4．

根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，所以

，，，

，，所以X的分布列为：

所以．

21．已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及，即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）根据两点之间的距离公式，根据，，即可求得的取值范围；

【详解】（1）由题意可知：，， ，则，

∴椭圆的标准方程：；

（2）由题意可知：，

设，则，

∴，

由，当时，，当时，，

∴的取值范围；

22．已知．

(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

(2)若函数有两个极值点，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.

（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.

【详解】（1）函数定义域为，依题意，，成立，

即，成立，而当时，，因此，

而时，不是常数函数，于是得，

所以实数的取值范围是.

（2）由（1）知，，因有两个极值点，则，即有两不等正根，

于是得，有，

，

，令，，

，显然函数在上单调递增，而，

因此，使得，即，当时，，当时，，

于是得在上单调递减，在上单调递增，，

显然在上单调递增，则，因此，即有，

所以.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，使问题得到解决.