2022-2023学年河南省洛阳强基联盟高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年河南省洛阳强基联盟高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．已知随机变量的分布列如表：

则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据随机变量的分布列的性质求解即可.

【详解】由题知，

解得．

故选：A

2．五一期间，人民商场推出促销活动：将购买商品的顾客分成10人一组，在每组10名顾客中随机选出3名赠送纪念品，则顾客甲得到纪念品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由古典概型的计算公式计算概率即可.

【详解】从10名顾客中随机选出3名顾客有（种）方法，

其中甲被选中有（种）方法，

所以顾客甲得到纪念品的概率是．

故选：C．

3．已知，则（    ）

A．0.75 B．0.6 C．0.48 D．0.2

【答案】A

【分析】由条件概率的公式即可求出答案.

【详解】由条件概率的公式，得，解得．

故选：A．

4．根据分类变量X与Y的抽样数据，计算得到依据的独立性检验（）则下面说法正确的是（    ）

A．变量X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1

B．变量X与Y不独立，该推断犯错误的概率不低于0.1

C．变量X与Y独立，该推断犯错误的概率不超过0.1

D．变量X与Y独立，该推断犯错误的概率不低于0.1

【答案】A

【分析】由独立性检验的具体检验规则判断即可得出答案.

【详解】由独立性检验的具体检验规则及，得变量X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1．

故选：A

5．已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（    ）

A．0.16 B．0.72 C．0.76 D．0.88

【答案】D

【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】从某地市场上购买一台洗衣机，设“买到的洗衣机是甲厂产品”为事件，“买到的洗衣机是乙厂产品”为事件，“买到的洗衣机是合格品”为事件B，

所以，

即从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是0.88．

故选：D

6．已知直线与曲线相切，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义建立方程组，求解方程组可得答案.

【详解】设切点坐标为，由求导，得,

所以，即解得．

故选：C．

7．6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ）

A．360种 B．180种 C．720种 D．450种

【答案】D

【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案.

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；

方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.

所以共有（种）不同的安排方案.

故选：D.

8．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.

【详解】根据题意，构造函数，则，

所以函数在R上单调递增，又，即，

所以，即，解得.

故选：D.

二、多选题

9．已知两个变量X，Y的数据如下表：

其中数据和数据的平均数分别为，并且计算得相关系数，经验回归方程为，则（    ）

A．变量X，Y负相关 B．

C．一定成立 D．一定成立

【答案】BC

【分析】对于A，由相关系数的正负可判断正负相关，对于B，由相关系数与的关系进行判断，对于CD由回归方程的性质判断.

【详解】因为，所以变量X，Y正相关，经验回归方程中斜率，故A错误，B正确；

因为经验回归方程一定经过点，所以一定成立，故C正确；

因为经验回归方程求出的函数值是估计值，所以不一定等于，故D错误．

故选：BC．

10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ）

A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30

C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20

【答案】AD

【分析】将个数字选个排列即可判断A，确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D，计算“凸数”时对十位分三种情况讨论，即可判断D.

【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；

个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；

则偶数有（个），故C错误；

将这些“凸数”分为三类：

①十位为，则有（种），

②十位为，则有（种），

③十位为，则有（种），

所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．

故选：AD．

11．设随机变量X的分布列为a为常数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由分布列的性质即可求出的值，由此即可求出，，则可求出，的值.

【详解】因为随机变量的分布列为

由分布列的性质可知，

解得，A正确；

，，B错误；

，C正确；

，D正确．

故选：ACD

12．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．中最大

【答案】ABD

【分析】每步向上1级与向上2级的概率都是，求出第n步后小明所在台阶级数随机变量的概率，即可判断A、C、D的正误，再计算，可得B正确.

【详解】小明每步向上1级与向上2级的概率都是，表示跨2步到达第2级台阶，

所以每步向上1个台阶，，故A正确；

的所有可能取值为2，3，4，，，

，所以，故B正确；

表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，

有2步每步向上2个台阶，；

表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1个台阶，有3步每步向上2个台阶，

，故C错误；

由题意，表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2个台阶，，

表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有4步每步向上2个台阶，

，以此类推可得，

，，

，其中最大，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知随机变量X服从两点分布，且，则      ．

【答案】/0.6

【分析】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解.

【详解】解：由随机变量X服从两点分布，得，

又因为，

所以．

故答案为：

14．已知随机变量，若，则      ．

【答案】

【分析】根据随机变量，由求解.

【详解】解：因为，

所以．

故答案为：0.63

15．某校排球队假期集训，集训前共有5个排球，其中3个是新球（即没有用过的球），2个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出1个球，用完后放回，则第二次训练时恰好取到一个新球的概率为        ．

【答案】/

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】记A，B分别为第一次，第二次训练取到新球，

由全概率公式，得．

故答案为：.

16．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则      ．

【答案】

【分析】根据X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相应的概率，再利用期望公式求解.

【详解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5，

则，，，，，

所以．

故答案为：

四、解答题

17．某医药研究小组在研究治疗某疾病的药品A的临床实验中得到了如下数据：服用药品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰剂的患者有200名，其中未治愈90名．

(1)根据所给数据，完成以下2×2列联表（单位：人）：

(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为药品A对治疗此疾病有效？

参考公式其中

【答案】(1)列联表见解析

(2)认为药品A对治疗此疾病有效

【分析】（1）根据服用药品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰剂的患者有200名，其中未治愈90名，完成列联表；

（2）根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照下结论；

【详解】（1）根据所给数据，得到2×2列联表如下：

（2）零假设为：药品A对治疗此疾病无效，根据列联表中的数据，可得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为药品A对治疗此疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.01．

18．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．

(1)求n的值；

(2)求的展开式中的常数项．

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解；

（2）由二项展开式通项公式，令求解即可.

【详解】（1）由二项展开式通项公式可知，，

所以由题意知，解得.

（2）由（1）知二项展开式的通项公式为，

令，解得，

故展开式中的常数项为.

19．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.

(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；

(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公式求解作答.

（2）求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒的试验有个基本事件，

其中至少有1个男孩卡通人物的事件，其对立事件有个基本事件，

所以至少有1个男孩卡通人物的概率.

（2）依题意，X的可能值为0，1，2，

，

所以随机变量X的分布列为

数学期望为.

20．在政策的扶持下，小华计划在某乡开快递站，为了解市场行情，在该市调查了家农村快递站，统计得到了它们的营业面积（单位：）和日均客流量（单位：人）的数据，初步判断x与y线性相关，并计算得， ，，，.

(1)求与的样本相关系数（结果精确到）；

(2)现有营业面积为的商铺正在出租，小华准备租用此商铺开快递站，请预估小华的快递站的日均客流量（结果精确到个位数）．

参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，， ；

参考数据.

【答案】(1)

(2)预估小华的快递站的日均客流量为人

【分析】（1）根据所给数据求出和，代入相关系数公式求解即可.

（2）利用公式求出线性回归方程，代入数据即可.

【详解】（1）因为，，

所以

．

（2），．

所以关于的回归直线方程为．

当时，，

所以预估小华的快递站的日均客流量为人．

21．2023年4月23日第二届全民阅读大会在杭州举办，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某市响应号召，推进全体学生阅读，在全市100000名学生中抽取1000名学生调查每周阅读时间，得到频率分布直方图如下图：

由频率分布直方图可以认为该市学生每周阅读时间X服从正态分布，其中可以近似为1000名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．

(1)试估计全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数；

(2)若从全市学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，均值与方差．

参考数据：若随机变量服从正态分布，则P，，．

【答案】(1)（人）

(2)分布列见解析，均值为，方差为

【分析】（1）由正态分布求出概率，估计人数即可；

（2）由题意可知每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y服从二项分布，然后由二项分布求概率分布列及均值与方差即可.

【详解】（1）由题意知样本中1000名学生每周阅读时间的平均值为，所以，

又，所以，所以，

所以．

所以全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数估计为（人）．

（2）因为，所以，结合题意可得，

故，，，，，．

故随机变量Y的分布列如下：

故，．

22．已知函数，.

(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可求解；

（2）由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，问题得证.

【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，

所以在[1,4]上恒成立，

又在[1,4]上单调递增，所以，

所以，解得，所以的取值范围是.

（2）因为，所以要证，只需证，

令，则.

当时，，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增.

所以，

令，则，

当时，单调递减，当时，单调递增.

所以时，取最小值, 则,

所以时，，因此.

所以.