考点08三角函数（30种题型8个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版）

这是一份考点08三角函数（30种题型8个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版），共100页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷常考等内容，欢迎下载使用。
考点08三角函数（30种题型8个易错考点）
一、 真题多维细目表

考题

考点
考向
2022新高考1第6题
三角函数的性质及其应用
求值
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2022新高考2第6题
三角恒等变换
求正切值
2022新高考2第9题
三角函数的性质及其应用
求单调区间，对称轴
2021新高考1第4题
三角函数的性质及其应用
求解单调区间
2021新高考1第6题
三角恒等变换
给值求值问题
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
二、命题规律与备考策略

本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共4小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（　　）
A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）
【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令，k∈Z．
则，k∈Z．
当k＝0时，x∈[，]，
（0，）⊆[，]，
故选：A．
【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．
2．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，
所以|MF1|•|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF1|•|MF2|的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
3．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，
即sin（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，
即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
f（x）＝sin（2x+），
求导可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，
故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三．解答题（共2小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．
（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．
∴＝＝，
化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）＝sinB，
∴﹣cosC＝sinB，C＝，
∴sinB＝，
∵0＜B＜，∴B＝．
（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，
＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．
∴的最小值为4﹣5．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，以及正弦定理，可得a＝4，b＝5，c＝6，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，（2）由c＞b＞a，可推得△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，运用余弦定理可推得a2﹣2a﹣3＜0，再结合a＞0，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵2sinC＝3sinA，
∴根据正弦定理可得2c＝3a，
∵b＝a+1，c＝a+2，
∴a＝4，b＝5，c＝6，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
∵sin2C+cos2C＝1，
∴sinC＝，
∴＝．
（2）∵c＞b＞a，
∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
＝，
∴a2﹣2a﹣3＜0，
∵a＞0，
∴0＜a＜3，
∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，
∴1＜a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝2．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
四、考点清单

一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．

六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•cosx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：

（k∈Z）；
递减区间：

（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝

sinC＝

五、题型方法

一．任意角的概念（共1小题）
（多选）1．（2023•弥勒市校级模拟）下列说法正确的是（　　）
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sinθ⋅cosθ＜0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了120°
D．若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有
【分析】对于A，由题意转化为正弦函数，余弦函数的符号，然后确定角θ的终边所在象限；
对于B，直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可；
对于C，确定每小时旋转﹣360°÷12＝﹣30°，即可得到结论；
对于D，利用终边相同的角的定义和表示方法即可求解．
【解答】解：对于A，sinθcosθ＜0⇔或⇔角θ的终边在四、二象限，故正确；
对于B，圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为，故正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是：﹣360°，其中每小时旋转：﹣360°÷12＝﹣30°，所以经过4小时应旋转﹣120°，故错误；
对于D，若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有，故正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的象限的符号，考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
二．终边相同的角（共1小题）
（多选）2．（2023•丽江一模）与﹣835°终边相同的角有（　　）
A．﹣245° B．245° C．﹣115° D．﹣475°
【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可．
【解答】解：与﹣835°终边相同的角可表示为﹣835°+k×360°，k∈Z，
当k＝1时，为﹣475°；
k＝2时，为﹣115°；
k＝3时，为245°；
故选：BCD．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
三．象限角、轴线角（共1小题）
3．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cos5），则点P位于第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】判断出5所在的象限，再根据正余弦的符号即可判断求解．
【解答】解：因为，
所以sin5＜0，cos5＞0，
则点P在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了正余弦的象限符号，考查了学生的理解能力，属于基础题．
四．弧度制（共1小题）
4．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 　[0，]∪[，π]　．
【分析】画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，利用图象绕着原点旋转，根据函数的定义即可得出θ的取值集合．
【解答】解：画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，如图1所示：

圆弧所在圆的方程为x2+y2＝1，A（﹣，），B（，），
在图象绕原点逆时针旋转的过程中，当点A从图1的位置旋转到（﹣1，0）点时，
根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：

此时绕着原点旋转弧度为0≤θ≤，
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在x轴下方，点A在x轴上方时，
根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：

此时转过的角度为＜θ＜，不满足题意；
若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在x轴下方时，
根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：

此时转过的角度为≤θ≤π；
综上知，θ的可取值集合为[0，]∪[，π]．
故答案为：[0，]∪[，π]．
【点评】本题考查了函数的定义与图象旋转的应用问题，也考查了数形结合应用问题，属于难题．
五．弧长公式（共2小题）
5．（2023•嘉兴二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径．厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ＝82.8°，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（　　）

A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
【分析】利用1°圆心角所对应的弧长是即可求解．
【解答】解：设圆周长为C﹣y+1﹣m＝0，半径长为R，两地间的弧长为l，对应的圆心角为n°，
∵360°的圆心角所对应的弧长就是圆周长C＝2πR，
∴1°的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的l为：，
∴．
当l为5000古希腊里，n＝90°﹣θ，即n＝7.2°时，
古希腊里．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
6．（2023•周至县二模）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由题意，设OA＝r，在△ADO中，解三角形可得sin＝，又l＝rθ，联立方程即可求解．
【解答】解：由题意，如图，可得AD＝d，∠DOA＝，
设OA＝r，
则在△ADO中，sin＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得：＝，即．
故选：A．

【点评】本题考查了扇形的弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
六．扇形面积公式（共2小题）
7．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】设圆的半径为r，由题意可得，化简即可得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，将内解正n边形分成n个小三角形，
由内接正n边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：．
故选：A．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝　（1﹣）　．



【分析】如图，设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设圆O1与弧AB相切于点D，
圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．
设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．
因为，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，
则，即，解得r1＝1．
在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，
则，即，解得．
同理可得，，
所以{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列．
又圆的面积为S＝πr2，
所以面积S1，S2，S3，…，Sn构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则．
故答案为：．

【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．
七．任意角的三角函数的定义（共1小题）
9．（2023•蚌埠模拟）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案．
【解答】解：由点P在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，
故，
所以＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查转化能力，属于基础题．
八．三角函数线（共1小题）
10．（2023•江西模拟）若0＜α＜π，则“”是“tanα＞1”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合0＜α＜π，解出不等式和tanα＞1，即可判断出答案．
【解答】解：因为0＜α＜π，
所以等价于，tanα＞1等价于，
故“”是“tanα＞1”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，充分必要条件的判断，属于基础题．
九．三角函数值的符号（共1小题）
11．（2023•广西模拟）sin3+cos3的值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用辅助角公式化sin3+cos3为正弦函数，再判断函数值所在的范围．
【解答】解：因为sin3+cos3＝（sin3+cos3）＝sin（3+），
且＜3＜π，所以π＜3+＜，
所以﹣＜sin（3+）＜0，
所以sin3+cos3的值所在的范围是（﹣，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的化简应用问题，是基础题．
一十．三角函数的周期性（共4小题）
12．（2023•开福区校级一模）已知函数，若存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（　　）
A． B． C．2π D．4π
【分析】由题意可得出，结合1＜ω＜2，可得，再求出周期即可．
【解答】解：因为存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，
所以，即，
又因为1＜ω＜2，则k＝3，所以，
所以函数f（x）的最小正周期为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
13．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用正弦函数的零点及周期性，可得2π≤ωπ﹣＜3π，由此求得ω的范围．
【解答】解：因为函数的最小正周期为T＝，
且f（T）＝2sin（ω×+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣，所以φ＝﹣．
x∈[0，π]，则ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，
若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，
则2π≤ωπ﹣＜3π，所以≤ω＜，
所以ω的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的零点及周期性，属于基础题．
14．（2023•江西二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知函数，给出下列说法：
①f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的值域为；
④f（x）图象的对称轴为直线．
其中所有正确说法的序号为（　　）
A．②③ B．①④ C．③ D．②③④
【分析】化简函数的解析式，然后求解函数的定义域，周期，值域，对称轴，判断命题的真假即可．
【解答】解：函数＝cosx+sinx＝sin（x+），其中，即x≠，
所以①不正确；
函数是周期为：2π，所以②正确；
函数的值域：；所以③正确；
x+＝kπ+．可得x＝kπ+，k∈Z，所以f（x）图象的对称轴为直线．所以④不正确；
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质的应用，两角和与差的三角函数，函数的周期性、对称性的判断，是中档题．
15．（2023•海淀区二模）已知函数，且．
（1）求a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
【分析】（1）根据代入求出a，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）因为，且，
所以，
解得a＝2，
所以＝
＝，
即，
所以f（x）的最小正周期；
（2）由，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以的单调递增区间为，k∈Z，
当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，
当k＝1时，f（x）的单调递增区间为，
所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为，．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
一十一．诱导公式（共1小题）
16．（2023•毕节市模拟）已知sin，则cos2θ＝　　．
【分析】结合诱导公式求解即可．
【解答】解：已知sin，
则，
则cos2θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式，属基础题．
一十二．运用诱导公式化简求值（共2小题）
17．（2023•凉州区模拟）若，则tanα＝（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】利用两角和差的余弦公式展开，再利用同角关系即可得．
【解答】解：＝＝＝，
∴tanα＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和差公式，同角关系，属于基础题．
18．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝　　．
【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为锐角α满足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，
所以tanα＝＝2或﹣（舍去），
可得cosα＝sinα，
所以sin2α+cos2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，
则sin（π﹣α）＝sinα＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
一十三．正弦函数的图象（共2小题）
19．（2023•诸暨市模拟）已知函数在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理．
【解答】解：因为ω＞0，所以当0＜x＜时，有＜ωx+＜ω+，
因为f（x）在区间（0，）内恰有一个极值，
结合y＝sinx的性质，＜ω+≤，解得＜ω≤，
所以ω的取值范围为（，]．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．
20．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 　（答案不唯一）　．（写出符合条件的一个值即可）
【分析】根据零点的距离求出周期T，从而求出ω的值，再利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意得：T＝2•＝π，故ω＝＝2，
故f（x）＝sin（2x+），
故x1＝﹣+＝，
x2＝+，
x3＝2•+，•••••．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．
一十四．正弦函数的单调性（共2小题）
21．（2023•河北模拟）已知函数在区间上不单调，则ω的最小正整数值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性，得出结论．
【解答】解：＝＝
＝＝，
由ω＞0，若，有，
当ω为正整数时，f（x）在区间上不单调，则有，解得ω＞1，
则ω的最小正整数值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．
22．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 　　．
【分析】根据正弦函数的性质和对称轴的几何意义求解．
【解答】解：函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））一条对称轴为，
∴，∴，
y＝sin（ωx+φ）的对称轴可以表示为，
令k＝k2﹣k1，则在上单调，
则∃k∈Z，使得解得，由，得k≤3，
当k＝3时，ω取得最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦函数的性质，属于中档题．
一十五．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
23．（2023•攀枝花三模）已知函数对任意都有，则当ω取到最大值时，f（x）图象的一条对称轴为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出ω的范围，进而得到ω的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案．
【解答】解：∵，ω＞0，∴，∵，∴，∴，所以ω的最大值为，
当时，，令，
解得，
当k＝0时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型三角函数的图象与性质，属于中档题．
24．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有（　　）
A．|f（x）|的最小正周期为2π
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上的最大值为1，则
【分析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数＝sinx+cosx＝sin（x+），
∴|f（x）|的最小正周期为×2π＝π，故A错误；
令x＝﹣，求得f（x）＝﹣≠±1，可得直线x＝﹣不是f（x）图象的一条对称轴，故B错误；
当x∈（0，）时，x+∈（，），函数f（x）不单调，故C错误；
若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为1，x+∈[﹣，m+]，
可得m+≥，求得m≥，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
一十六．余弦函数的图象（共1小题）
25．（2023•宁德模拟）已知函数，射线y＝﹣2（x≥0）与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{xn}，且，则f（5）＝　﹣1　．
【分析】根据给定条件，求出函数f（x）的解析式，再代值计算作答．
【解答】解：因为，则数列{xn}是等差数列，公差为4，且，
因此A＝2，函数f（x）的周期是4，即，解得，又，
即有，解得，于是，
所以．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
一十七．余弦函数的单调性（共1小题）
26．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（　　）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
【分析】x∈[﹣2，0]⇒2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，利用余弦函数的性质可求得答案．
【解答】解：∵x∈[﹣2，0]，
∴2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，
∵﹣＜﹣4﹣＜﹣π＜﹣＜0，
∴函数在[﹣2，0]上先减后增，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中等题．
一十八．正切函数的图象（共1小题）
27．（2023•全国二模）函数y＝2cosx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．
【解答】解：函数y＝2cosx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，
由2cosx＝3tanx，可得2cos2＝3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx＝，或sinx＝﹣2（舍去），结合0＜x＜π，
∴x＝，或 x＝．
∴A（，）、B（，﹣）．
根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于•QC•|yA|+OC•|yC|＝•OC•|yA﹣yC|＝••2＝π，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象，用分割法求三角形的面积，属于中档题．
一十九．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
28．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝，周期T∈（，），（，0）是f（x）的对称中心，则f（）的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，根据f（0）＝求得φ值，利用正切函数的周期性，求得ω范围，再根据正切函数的图象的对称性，求得ω值，可得f（x）的解析式，从而得到f（）的值．
【解答】解：∵f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝2tanφ＝，
∴tanφ＝，∴φ＝，f（x）＝2tan（ωx+）．
∵周期T＝∈（，），∴＜ω＜4．
再根据（，0）是f（x）的对称中心，可得+＝，k∈Z，即ω＝3k﹣1，
∴ω＝2，f（x）＝2tan（2•x+），
则f（）＝2tan＝﹣2tan＝﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．
二十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
29．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（cosx≠0）的一个对称中心为 　（﹣，0）　（答案不唯一）．
【分析】法一：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且cosx≠0，f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案；
法二：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，利用辅助角公式可得f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案．
【解答】解：法一：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且cosx≠0，
∴f（x）＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，故其中一个对称中心为（﹣，0）；
法二：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，
f（x）＝＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，
故其中一个对称中心为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查三角函数的化简及性质，考查数学运算、直观想象等核心素养，属于中档题．
二十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
30．（2023•曲靖模拟）已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先根据平移后得到函数g（x）的解析式，再根据图象求函数的解析式，即可求值．
【解答】解：平移不改变振幅和周期，所以由图象可知A＝1，，
解得ω＝2，
函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得，
当时，，且，
得
所以，．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质及函数图象的平移，属于基础题．
31．（2023•南通模拟）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
（1）若ω＝2，求函数y＝g（x）在区间上的最大值；
（2）若函数y＝g（x）在区间上没有零点，求ω的取值范围．
【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由y＝g（x）单调性可得最值情况；
（2）由（1）结合题意可知，k∈Z．后由可进一步确认k大致范围，后可得答案．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：y＝，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为y＝，
则，
当时，，
因函数y＝sinx在上单调递减，在上单调递增，
，，
∴，
∴y＝g（x）在区间上的最大值为；
（2），当时，，
要使g（x）在上无零点，则，k∈Z．
，k∈Z，ω＞0，，
当k＝0时，；当k＝﹣1时，，
当k≤﹣2时，ω＜0舍去．
综上：ω的取值范围为．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
32．（2023•辽宁模拟）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在①②③b＝1三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三条边，，_____，_____．求△ABC的面积S△ABC．
【分析】（1）根据三角函数图象变换，先求出f（x）＝sin2x，求h（x）值域时，结合sinx﹣cosx，与sin2x的关系，换元转化可得值域．
（2）利用正弦定理或余弦定理先解三角形，再用面积公式可得．
【解答】解：（1）f（x）的图像向左平移个单位得，
再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，
即，
又∵，
故ω＝2，，则φ＝0，
故f（x）＝sin2x，
∴，
设，∵，∴，t∈（0，1），
∵t2＝1﹣sin2x，∴，
又∵y在t∈（0，1）上单调递增，则y∈（1，+∞），∴h（x）的值域为（1，+∞）．
（2）∵且A∈（0，π），∴，
选①②：，，∵A∈（0，π），B∈（0，π），
∴，，，，
则，
．
选①③：，b＝1，∵A∈（0，π），B∈（0，π），
∴，，，，
，
．
选②③：，b＝1，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，
∴c2﹣c﹣2＝0，则c＝2或c＝﹣1（舍），
．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正余弦定理的应用，三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
33．（2023•温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数的单调区间．
【分析】（1）求出角的范围，利用3个零点条件建立不等式进行求解即可．
（2）根据图象平移关系求出g（x），求出F（x）的解析式，利用正切函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵ω＞0，∴当x∈时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
∵f（x）＝0恰好有3个零点，则2π≤﹣＜3π，得≤ω＜，
∵ω为正整数．∴ω＝2．
当ω＝2时，f（x）＝sin（2x﹣）．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），
则＝＝﹣＝﹣tan（2x+），
由kπ﹣＜2x+＜kπ+，k∈Z，得﹣＜x＜+，k∈Z，
即F（x）的单调递减区间为（﹣，+），k∈Z，无递增区间．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
二十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
34．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，同时满足，若函数g（x）＝f（x）﹣1在区间（0，λ）上共有8个零点，则这8个零点之和为 　15π　．

【分析】根据题意得出函数的对称轴和周期，进而求出函数的解析式，然后根据正弦函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题图知，由知，函数f（x）的图象关于直线对称，
则由图象可知，解得，
又，所以，所以K＝1，最小正周期T＝π，所以ω＝，
所以，因为函数f（x）的图象经过点，
所以，解得，
又，所以，所以，
设方程f（x）＝1在（0，λ）上的8个根从小到大依次为x1，x2，⋯，x8，
令，则，根据f（x）的图象的对称性，可得，
由f（x）的周期性可得：
，
所以．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
二十三．三角函数的最值（共1小题）
35．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+4cos2x﹣1，若实数a、b、c使得af（x）﹣bf（x+c）＝3对任意的实数x恒成立，则2a+b﹣cosc的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】化简得，其中，然后由af（x）﹣bf（x+c）＝3根据两角和的正弦公式可得出，该式对任意实数x恒成立，从而得出，解出a，b，cosc即可得出2a+b﹣cosc的值．
【解答】解：f（x）＝sin2x+2（1+cos2x）﹣1＝，其中tanθ＝2，，
∴由af（x）﹣bf（x+c）＝3得，，
∴，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b＝0，则a＝0，由③得﹣3＝0，∴b≠0，由②得sinc＝0，
若cosc＝1，由①得a﹣b＝0，与③矛盾，∴cosc＝﹣1，∴，解得，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了辅助角公式，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
36．（2023•芜湖模拟）已知，则sinα＝　　．
【分析】把所求的式子的分母1变换为+，分子二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到关于的关系式，把的值代入即可求出值．
【解答】解：∵，
∴sinα＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于基础题．
二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）
37．（2023•湖北模拟）已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到，
然后利用已知条件得到，并求出sinx和cosx的值，代入所求式子即可求解．
【解答】解：由可得，
则有，平方可得，则，
因为，所以sinx﹣cosx＞0，
则，
所以，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
38．（2023•河北模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换可得，进而可求结果；
（2）根据锐角三角形可得＜B＜，根据三角恒等变换可得＝，分类讨论，结合正切函数分析运算可得的取值范围．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，
则，
整理得，注意到，则snC≠0，可得，即，
所以tan＝tan＝tan（﹣）＝＝＝2﹣．
（2）因为A＝，则C＝﹣B，
且△ABC为锐角三角形，则，解得＜B＜，
又因为＝＝＝＝，
当＜B＜时，则＜B+＜，则cos（B+）≠0，tan（B+）＞，
所以＝∈（0，）；
当B＝时，则B+＝，则cos（B+）＝0，
所以＝0；
当＜B＜时，则＜B+＜，则cos（B+）≠0，tan（B+）＜﹣，
所以＝∈（﹣，0）；
综上所述：的取值范围为（﹣，）．
【点评】本题考查正余弦定理，考查三角恒等变换，属中档题．
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos2x，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f（x）存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：是f（x）的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】先利用三角函数的运算求出φ，再利用辅助角公式，画出函数图象，即可求出m的范围
【解答】解：（Ⅰ）选①时，f（）＝sin（+φ）+cos（）＝﹣1，即sin（+φ）＝﹣1﹣cos（）＝﹣1﹣＝﹣，
sin（+φ）最小值是﹣1，故选条件①时，f（x）不存在；
选②时，f（）＝sin（+φ）+cos（﹣）＝0，
即sin（﹣+φ）＝﹣cos（﹣）＝﹣，
所以﹣+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，或﹣+φ＝+2kπ，k∈Z．
即φ＝﹣+2kπ，k∈Z，或φ＝+2kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝﹣；
选③时，f（0）＝sinφ+cos0＝sinφ+1，f（）＝sin（+φ）+cos＝sin（+φ）﹣．
即sinφ+1＝sin（+φ）﹣，
即sinφ+1＝cosφ﹣sinφ﹣，
整理得sinφ﹣cosφ＝，
利用辅助角公式得sin（φ﹣）＝﹣，即sin（φ﹣）＝﹣，由选②同理可知φ＝﹣；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知φ＝﹣，则f（x）＝sin（2x﹣）+cos2x＝sin2x﹣cos2x+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），
此时画出f（x）在上的图象，如下所示：

由y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点可知m∈[﹣，）或m＝1．
【点评】本题考查三角函数的和差角公式，辅助角公式，第二题结合函数图象，难度不大，属于中档题．
二十六．二倍角的三角函数（共1小题）
40．（2023•惠州一模）若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】切化弦，结合sin2α+cos2α＝1得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解．
【解答】解：因为，所以，即3sinα﹣sin2α＝cos2α，
所以3sinα＝sin2α+cos2α＝1，即，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
二十七．半角的三角函数（共1小题）
41．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【分析】将表达式 中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．
【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 .，
∴
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，还要注意条件中的角α与待求式中角 的差别，注意转化思想的应用．
二十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
42．（2023•南关区校级模拟）已知，则＝　　．
【分析】由两角和的余弦公式，结合二倍角公式求解即可．
【解答】解：已知，
则，
即，
即，
即，
则＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和的余弦公式，重点考查了二倍角公式，属基础题．
二十九．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
43．（2023•山东模拟）已知函数，则（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递增
【分析】先利用二倍角公式化简函数，然后利用对称和周期的概念判断AB，利用辅助角和函数的有界性求函数值域判断C，利用导数法求函数的单调区间判断D．
【解答】解：，
所以＝＝，
故f（x）的图象不关于直线对称，故A错误；
＝＝，
故不是f（x）的周期，故B错误；
设，则，其中tanφ＝k，
所以，由|sin（2x﹣φ）|≤1得，解得，
所以，即f（x）的值域为，故C正确；
因为，所以，
令f′（x）≤0，得，所以，
所以，故f（x）在上单调递减，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查转化能力，属于中档题．
三十．三角函数应用（共2小题）
44．（2023•广东二模）已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（　　）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
【分析】求出游客到地面的距离为ym关于转动时间t（单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式y＞100，可得出结果．
【解答】解：设游客到地面的距离为ym，y关于转动时间t（单位：分钟）的函数关系式为y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0），
则A＝60，﹣A+b＝10，可得b＝70，
函数y＝Asin（ωt+φ）+b的最小正周期为T＝30，则，
当t＝0时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由y＞100，即，可得，
所以，，解得30k+10＜t＜30k+20（k∈N），
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
45．（2023•贵州模拟）函数在[﹣，]上零点的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】通过求解三角方程，推出x的解，结合x的范围，求解方程解的个数，可得结论．
【解答】解：函数＝0，可得2sin（4x﹣）＝﹣，可得4x﹣＝2kπ﹣或4x﹣＝2kπ，k∈Z，
可得x＝，或x＝，k∈Z，
因为x∈[﹣，]，所以，x＝，可得x＝﹣，0，；x＝，k∈Z，可得x＝﹣，，
故函数在[﹣，]上零点的个数为5，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，正弦函数的图象，属于中档题．
六、易错分析

易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
【错解】选D，因为，又sin α＝，∴cos α＝＝.
【错因】没有注意条件α是第二象限角，
【正解】选A　∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－＝－.
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
【错解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝. 答案：
【错因】没有注意由条件θ∈可得sin θ0，所以θ∈，
有⇒所以sin θ＋cos θ＝＝. 答案：
4．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为(　 )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)
【错解】选A　由正弦定理可得，＝＝＝＝
＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴cos2B1，又>0，∴0＜＜3.
【错因】忽略了A＋B＋C＝180°及条件C＝3B，
【正解】选B　由正弦定理可得，＝＝＝＝
＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B，
∴0°＜B＜45°，∴＜cos B＜1，∴1＜4cos2B－1＜3，即1＜＜3.
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2＋＝(　 )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4
【错解】选D　原式＝2＋＝2＋2cos 4
＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4.
【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负，
【正解】选B　原式＝2＋＝2＋2|cos 4|
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
6．若