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考点06二分法与求方程近似解（5种题型3个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）
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这是一份考点06二分法与求方程近似解（5种题型3个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共10页。
考点06二分法与求方程近似解（5种题型3个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、刷易错
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．填空题（共2小题）
1．（2023•上海）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 ．
2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：
（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；
（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，
则a的取值范围是 ．
二．解答题（共1小题）
3．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
二、考点清单
一．函数的零点
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解法——二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
二．函数零点的判定定理
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
三．函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
四．二分法的定义与应用
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是 [1.5，2] ．
解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．
五．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
三、题型方法
一．函数的零点（共3小题）
1．（2023•青浦区校级模拟）设x∈R，求方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|的解集 ．
2．（2023春•浦东新区校级期中）已知常数a≠0，定义在R上的函数f（x）＝cos2x+asinx．
（1）当a＝﹣4时，求函数y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；
（2）已知常数n∈N，n≥1，且函数y＝f（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求常数a及n的值．
3．（2023•宝山区校级模拟）已知函数y＝f（x）是定义域在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）+0.02，则关于y＝f（x）在R上零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内
B．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内，两个在（2，3）内
C．有5个零点，都不在（0，2）内
D．有5个零点，其中只有一个零点在（0，2）内，一个在（3，+∞）
二．函数零点的判定定理（共4小题）
4．（2022秋•杨浦区校级期末）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
5．（2022秋•徐汇区校级期末）若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：则方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确到0.1）（ ）
f（1）＝﹣2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝﹣0.984
f（1.375）＝﹣0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝﹣0.054
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
6．（2022秋•崇明区期末）函数f（x）＝x3+5x﹣7的零点所在的区间可以是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（2023春•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝|sinx|+|cosx|，函数g（x）＝k+4sinxcosx，函数F（x）＝f（x）﹣g（x）．
（1）求证：是函数f（x）的一个周期；
（2）当k＝0时，求F（x）在区间上的最大值；
（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰有奇数个零点，求实数k的值．
三．函数的零点与方程根的关系（共5小题）
8．（2023•浦东新区校级模拟）若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝ ．
9．（2023春•杨浦区校级期中）设a∈R，若关于x的方程aex＝x2有三个实数解，则a的取值范围为 ．
10．（2023春•宝山区校级期中）对任意实数x，定义[x]表示小于等于x的最大整数，例如[1.8]＝1，[﹣1.8]＝﹣2，则方程x2﹣[x]﹣1＝0的解的个数是 ．
11．（2023春•宝山区校级月考）已知函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，则f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
12．（2023春•闵行区校级期中）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．
四．二分法的定义与应用（共2小题）
13．（2022秋•浦东新区校级期末）用“二分法”求方程x2﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）内的实根，首先取区间中点x0＝3进行判断，那么下一个有根区间是 ．
14．（2022秋•闵行区期末）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x﹣4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f（1）、f（3）的值，第二次计算f（x1）的值，第三次计算f（x2）的值，则x2＝ ．
五．函数与方程的综合运用（共7小题）
15．（2023•浦东新区校级一模）已知函数f（x）＝，其中a∈R．
（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．
16．（2023•杨浦区校级模拟）若实数a使得存在两两不同的实数x、y、z，有，则实数a的取值范围是 ．
17．（2023•徐汇区三模）已知函数y＝f（x）的对称中心为（0，1），若函数y＝1+sinx的图像与函数y＝f（x）的图像共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则＝ ．
18．（2023•奉贤区校级三模）设f（x）＝x2（x≥1），g（x）＝（x﹣2）2+b（x≥3），A、D为曲线y＝f（x）上两点，B，C为曲线y＝g（x）上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为 ．
19．（2023•徐汇区三模）若函数y＝f（x）满足f（x0）＝x0，称x0为y＝f（x）的不动点．
（1）求函数y＝x3﹣3x的不动点；
（2）设g（x）＝ex﹣1．求证：y＝g（g（x））恰有一个不动点；
（3）证明：函数y＝f（x）有唯一不动点的充分非必要条件是函数y＝f（f（x））有唯一不动点．
20．（2023•黄浦区校级三模）定义如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系．
（1）判断函数f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C关系；
（2）若函数f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在区间（0，π）上具有C关系，求实数m的取值范围．
21．（2023•黄浦区二模）三个互不相同的函数y＝f（x），y＝g（x）与y＝h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y＝h（x）为y＝f（x）与y＝g（x）在区间D上的“分割函数”．
（1）设h1（x）＝4x，h2（x）＝x+1，试分别判断y＝h1（x）、y＝h2（x）是否是y＝2x2+2与y＝﹣x2+4x在区间（﹣∞，+∞）上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数y＝ax2+cx+d（a≠0）（用a表示c，d），使得该函数是y＝2x2+2与y＝4x在区间（﹣∞，+∞）上的“分割函数”；
（3）若[m，n]⊆[﹣2，2]，且存在实数k，b，使得y＝kx+b为y＝x4﹣4x2与y＝4x2﹣16在区间[m，n]上的“分割函数”，求n﹣m的最大值．
四、刷易错
一．函数零点的判定定理（共2小题）
1．（2022秋•松江区校级期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．（2022秋•奉贤区校级月考）若函数在区间[1，2]上有零点，则实数a的取值范围为 ．（结果用区间表示）
二．函数的零点与方程根的关系（共4小题）
3．（2023春•松江区校级期中）若方程＝a（x﹣1）恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
4．（2022秋•闵行区校级月考）已知函数f（x）＝|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k＝0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为 ．
5．（2022秋•松江区校级期末）已知函数，有下列两个结论：
①f（x）的值域为R；
②对任意的正有理数a，g（x）＝f（x）﹣a存在奇数个零点
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
6．（2022春•浦东新区校级月考）设f（x）＝，方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则x12+x22+x32+x42的取值范围为 ．
三．函数与方程的综合运用（共4小题）
7．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝|3x﹣3|+3，若f（a）＝f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是 ．
8．（2022秋•闵行区期中）设f（x）是定义在R上的函数若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②f（x）＝x3；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝x2.具有性质P的函数有 个．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 ．
10．（2022秋•浦东新区校级月考）设二次函数f（x）＝x2+ax+a，方程f（x）﹣x＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1，
（1）求实数a的取值范围；
（2）试比较f（0）f（1）﹣f（0）与的大小，并说明理由．
考点06二分法与求方程近似解（5种题型3个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、刷易错
一、 真题抢先刷，考向提前知
一．填空题（共2小题）
1．（2023•上海）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 ．
2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：
（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；
（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，
则a的取值范围是 ．
二．解答题（共1小题）
3．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
二、考点清单
一．函数的零点
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解法——二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
二．函数零点的判定定理
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
三．函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
四．二分法的定义与应用
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是 [1.5，2] ．
解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．
五．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
三、题型方法
一．函数的零点（共3小题）
1．（2023•青浦区校级模拟）设x∈R，求方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|的解集 ．
2．（2023春•浦东新区校级期中）已知常数a≠0，定义在R上的函数f（x）＝cos2x+asinx．
（1）当a＝﹣4时，求函数y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；
（2）已知常数n∈N，n≥1，且函数y＝f（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求常数a及n的值．
3．（2023•宝山区校级模拟）已知函数y＝f（x）是定义域在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）+0.02，则关于y＝f（x）在R上零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内
B．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内，两个在（2，3）内
C．有5个零点，都不在（0，2）内
D．有5个零点，其中只有一个零点在（0，2）内，一个在（3，+∞）
二．函数零点的判定定理（共4小题）
4．（2022秋•杨浦区校级期末）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
5．（2022秋•徐汇区校级期末）若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：则方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确到0.1）（ ）
f（1）＝﹣2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝﹣0.984
f（1.375）＝﹣0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝﹣0.054
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
6．（2022秋•崇明区期末）函数f（x）＝x3+5x﹣7的零点所在的区间可以是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（2023春•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝|sinx|+|cosx|，函数g（x）＝k+4sinxcosx，函数F（x）＝f（x）﹣g（x）．
（1）求证：是函数f（x）的一个周期；
（2）当k＝0时，求F（x）在区间上的最大值；
（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰有奇数个零点，求实数k的值．
三．函数的零点与方程根的关系（共5小题）
8．（2023•浦东新区校级模拟）若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝ ．
9．（2023春•杨浦区校级期中）设a∈R，若关于x的方程aex＝x2有三个实数解，则a的取值范围为 ．
10．（2023春•宝山区校级期中）对任意实数x，定义[x]表示小于等于x的最大整数，例如[1.8]＝1，[﹣1.8]＝﹣2，则方程x2﹣[x]﹣1＝0的解的个数是 ．
11．（2023春•宝山区校级月考）已知函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，则f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
12．（2023春•闵行区校级期中）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．
四．二分法的定义与应用（共2小题）
13．（2022秋•浦东新区校级期末）用“二分法”求方程x2﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）内的实根，首先取区间中点x0＝3进行判断，那么下一个有根区间是 ．
14．（2022秋•闵行区期末）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x﹣4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f（1）、f（3）的值，第二次计算f（x1）的值，第三次计算f（x2）的值，则x2＝ ．
五．函数与方程的综合运用（共7小题）
15．（2023•浦东新区校级一模）已知函数f（x）＝，其中a∈R．
（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．
16．（2023•杨浦区校级模拟）若实数a使得存在两两不同的实数x、y、z，有，则实数a的取值范围是 ．
17．（2023•徐汇区三模）已知函数y＝f（x）的对称中心为（0，1），若函数y＝1+sinx的图像与函数y＝f（x）的图像共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则＝ ．
18．（2023•奉贤区校级三模）设f（x）＝x2（x≥1），g（x）＝（x﹣2）2+b（x≥3），A、D为曲线y＝f（x）上两点，B，C为曲线y＝g（x）上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为 ．
19．（2023•徐汇区三模）若函数y＝f（x）满足f（x0）＝x0，称x0为y＝f（x）的不动点．
（1）求函数y＝x3﹣3x的不动点；
（2）设g（x）＝ex﹣1．求证：y＝g（g（x））恰有一个不动点；
（3）证明：函数y＝f（x）有唯一不动点的充分非必要条件是函数y＝f（f（x））有唯一不动点．
20．（2023•黄浦区校级三模）定义如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系．
（1）判断函数f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C关系；
（2）若函数f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在区间（0，π）上具有C关系，求实数m的取值范围．
21．（2023•黄浦区二模）三个互不相同的函数y＝f（x），y＝g（x）与y＝h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y＝h（x）为y＝f（x）与y＝g（x）在区间D上的“分割函数”．
（1）设h1（x）＝4x，h2（x）＝x+1，试分别判断y＝h1（x）、y＝h2（x）是否是y＝2x2+2与y＝﹣x2+4x在区间（﹣∞，+∞）上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数y＝ax2+cx+d（a≠0）（用a表示c，d），使得该函数是y＝2x2+2与y＝4x在区间（﹣∞，+∞）上的“分割函数”；
（3）若[m，n]⊆[﹣2，2]，且存在实数k，b，使得y＝kx+b为y＝x4﹣4x2与y＝4x2﹣16在区间[m，n]上的“分割函数”，求n﹣m的最大值．
四、刷易错
一．函数零点的判定定理（共2小题）
1．（2022秋•松江区校级期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．（2022秋•奉贤区校级月考）若函数在区间[1，2]上有零点，则实数a的取值范围为 ．（结果用区间表示）
二．函数的零点与方程根的关系（共4小题）
3．（2023春•松江区校级期中）若方程＝a（x﹣1）恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
4．（2022秋•闵行区校级月考）已知函数f（x）＝|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k＝0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为 ．
5．（2022秋•松江区校级期末）已知函数，有下列两个结论：
①f（x）的值域为R；
②对任意的正有理数a，g（x）＝f（x）﹣a存在奇数个零点
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
6．（2022春•浦东新区校级月考）设f（x）＝，方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则x12+x22+x32+x42的取值范围为 ．
三．函数与方程的综合运用（共4小题）
7．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝|3x﹣3|+3，若f（a）＝f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是 ．
8．（2022秋•闵行区期中）设f（x）是定义在R上的函数若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②f（x）＝x3；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝x2.具有性质P的函数有 个．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 ．
10．（2022秋•浦东新区校级月考）设二次函数f（x）＝x2+ax+a，方程f（x）﹣x＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1，
（1）求实数a的取值范围；
（2）试比较f（0）f（1）﹣f（0）与的大小，并说明理由．
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