第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（测试）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

时间：120分钟  分值：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】要使函数有意义，则有，解得或，

所以或，

由，得，

所以．

故选：D.

2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由，得，即，

由，得或，即，

所以.

故选：B.

3．（2023·湖北·统考二模）已知集合，，且全集，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为，

则，，，

,

故选：.

4．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题，，则p的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，

得p的否定为.

故选：A.

5．（2023·江西·校联考二模）“”的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，即，所以

对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确，

选项B，由，则，

则或，故B项不正确，

选项C，，

则或，故C不正确，

选项D，由知，

所以，成立，故D正确，

故选：D.

6．（2023·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ）

A．120 B．144 C．177 D．192

【答案】A

【解析】

如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，

则

不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为

即

由容斥原理：

解得：

故选：A

7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故选：A.

8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为点在直线上，

所以，

故，

当且仅当且，即时等号成立，

因为关于的不等式恒成立，

所以，解得，

所以.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ）

A．“”是的充分不必要条件 B．“”是的必要不充分条件

C．“”是的充分不必要条件 D．“”是的必要不充分条件

【答案】BC

【解析】已知：，恒成立，则方程无实根，

所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；

又：，恒成立，所以在时恒成立，

又函数的最大值为，

所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.

故选：BC.

10．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，

所以选项AD正确，选项CD不正确，

故选：AD.

11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，

由于，所以.

A，，当时等号成立，故A正确.

B，，当且仅当时等号成立，故B正确.

C，不等式的解集为，，故C错误.

D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，

则，，故D正确，

故选：ABD

12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】设，

则，，

，，

，，

所以，

，因为，所以，则等号不成立，

所以，则，

因为，所以，

故选：BCD

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合，集合.如果，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由解得，所以，

所以，

由于，所以.

故答案为：.

14．（2023·山西运城·统考三模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）

【答案】

【解析】因为，即函数的值域为，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

15．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；

（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为________

【答案】3

【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，

（2）若数域有非零元素，则，

从而，故（2）正确；

（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，

（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，

故真命题的个数是3.

故答案为：3

16．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________.

【答案】

【解析】由且，得，，且①，

又因为，可得②，

由①②可知：，是方程的两个不等的实根，

于是，解得：，

且，则，

则，

所以的范围为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

（2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．

(1)求A；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．

【解析】（1）由，可得，

所以，所以集合.

（2）若“”是“”的充分不必要条件，

则集合是集合的真子集，

由集合不是空集，故集合也不是空集，

所以，

当时，满足题意，

当时，满足题意，

故，即m的取值范围为.

18．（12分）

（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.

(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；

(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.

【解析】（1）由q真：，得或，

所以q假：；

（2）p真：推出，

由和有且只有一个为真命题，

真假，或假真，

或，

或或.

19．（12分）

（2023·高一单元测试）已知集合.

(1)若集合，且，求的值；

(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.

【解析】（1）因为，且，

所以或，

解得或，

故.

（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，

所以.

当时，，满足题意；

当时，

当时，，解得，满足题意；

当时，且，此时无解；

当时，且，此时无解；

当时，且，此时无解；

综上，a的取值范围为.

20．（12分）

（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

【解析】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，

即血液含药量须不低于4微克，可得，           

解得，                                       

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．

（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，                        

解得，                                       

若，药物浓度，         

化简得，所以；                

若，药物浓度，                

解得，所以；                          

综上，                                      

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．

21．（12分）

（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

【解析】（1）证明：由柯西不等式可得，

当且仅当时取等号．

即，则原式成立；

（2）证明：

．

当且仅当时取等号.

22．（12分）

（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．

【解析】令，分别取，1，2，可得，

，．

由，利用绝对值三角不等式可得

，因此

当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立．

故的最小值为．