2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】A

【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.

【详解】直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为.

故选：A

2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】D

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】解：因为且，

所以.

故选：D

3．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（    ）

A．6种 B．8种

C．9种 D．10种

【答案】C

【分析】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法；

从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法，

由分步计数原理，可得共有种不同的走法.

故选：C.

4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ）.

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，，

因为与互相垂直，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

5．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗工作.某地为方便居民接种，共设置了､､､四个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种.若甲､乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】由题意，甲､乙两人去､､､四个接种点接种疫苗的所有不同结果为：

，，，共种，

其中两人不在同一接种点接种疫苗有种，

由古典概型概率计算公式可得所求概率.

故选：D

6．过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依据题意可知，直接可得结果.

【详解】由题可知：

所以，即

所以椭圆的离心率为

故选：A

7．对于空间一点和不共线三点 ，，，且有，则（    ）

A．，，，四点共面 B．，，，四点共面

C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面

【答案】B

【分析】将条件变形为，利用共面向量判定，，，四点共面.

【详解】由，得，即，

，，共面，又它们有公共点，，，，四点共面．

故选：B．

8．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由两点的距离公式和椭圆的定义可得点在椭圆上.继而有表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.联立椭圆与直线的方程，利用根的判别式可求得答案.

【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为，

故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，

设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.

联立方程组整理得，

，解得或，故的取值范围是

故选：C.

二、多选题

9．尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情影响，但各企业高度重视新能源汽车产品，供应链资源优先向新能源汽车集中，从目前态势来看，整体产销量完成情况超出预期.下表是2022年我国某地新能源汽车前个月的销量和月份的统计表，根据表中的数据可得经验回归方程为，则（    ）

A．变量与正相关 B．与的样本相关系数

C． D．2022年月该地新能源汽车的销量一定是万辆

【答案】AC

【分析】根据相关关系的概念判断AB选项，再根据回归直线经过样本中心可计算，进而可得估计值，判断CD选项.

【详解】由，，可知随着变大而变大，所以变量与正相关，选项A正确，选项B错误；

，，因为回归直线过样本中心，所以，，故选项C正确；

由回归直线可知，2022年月该地新能源汽车的销量的估计值是万辆，而不一定是万辆，故选项D错误；

故选：AC.

10．给出如下四个命题不正确的是（    ）

A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率

C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是

【答案】ABD

【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；

【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；

对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；

对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；

对于D选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.

故选：ABD

11．一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（    ）

A．若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为

B．若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为

C．若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为

D．若从盒中随机不放回任取2个球，若其中一个球是白球，则另一个也是白球的概率为

【答案】ABD

【分析】从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断A、C；由古典概型的概率可判断B；由条件概率的公式可判断D.

【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为，取到的球颜色相同的概率为，所以A正确；

从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，取到的球颜色不同有种，所以，颜色不相同的概率为，所以B正确；

从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：，所以其中有白球的概率为，所以C不正确；

从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件，另一个也是白球为事件，则，所以D正确.

故选：ABD.

12．如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（    ）

A．

B．若为直线上的动点，则为定值

C．点到平面的距离为

D．过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A，连接，利用三角形中位线定理判断，对于B，利用平面向量的数量积求解，对于C，利用等积法求解，对于D，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆为的中点，然后利用已知条件求出截面圆的半径

【详解】对于A，连接，则∥，

因为分别为棱的中点，所以∥，

所以∥，所以A正确，

对于B，，所以B正确，

对于C，因为分别为棱的中点，所以，

所以≌，

设点到平面的距离为，

因为，所以，所以，所以C错误，

对于D，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径为，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆为的中点，连接，则，所以，所以此时截面圆的半径为，此时，截面圆的面积，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．若，则n的值是      ．

【答案】10

【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.

【详解】根据组合数的性质，且，

所以.

故答案为：10

14．已知，分别为圆：与圆：的动点，为轴上的动点，则的最小值为           .

【答案】

【分析】作出圆关于x轴的对称圆圆，利用对称性，由求解.

【详解】如图所示：

圆：关于x轴的对称圆圆：，

由对称性知：，

故答案为：

15．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为           .

【答案】

【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.

【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，

同理可知，与分别为平面与的法向量.

设直线的方向向量，则，即，取，则.

设直线与平面所成角为，则.

故答案为：.

四、双空题

16．已知抛物线的焦点为F，Q（2，3）为C内的一点，M为C上任意一点，且的最小值为4，则p＝      ；若直线l过点Q，与拋物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则的面积为      ．

【答案】     2；     ．

【分析】把转化为到准线的距离，可得的最小值，从而求得，设，，代入抛物线方程相减求得直线的斜率，得直线方程，可求得原点到直线的距离，直线方程与抛物线方程联立消元，应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，从而得三角形面积．

【详解】是抛物线的准线，过作于，过作于，

则，，易知当是与抛物线的交点时，取得最小值，所以，，

设，，显然，，，

由得，，

直线方程为，即，

原点到直线的距离为，

由，得，，，

，

所以．

故答案为：2；．

五、解答题

17．已知圆过点，，.

(1)求的方程；

(2)若直线与相交的弦长为，求t的值.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设圆的一般方程，将点代入，利用待定系数法即可求解；或利用几何法，由题可得，则圆是以AC为直径的圆，即求；

（2）求出圆心到直线的距离，由即可求解.

【详解】（1）法1：设圆，

则，解得：，，，

故圆M的方程为；

法2：根据题意，，，；

则，，则有，即直线AB与BC垂直，

故圆心M为AC的中点，且，圆M的半径，

故圆M的方程为；

（2）由题可得圆心，圆M的半径，

设圆心M到直线l的距离d，

则弦长为，解得，

又，解得或，

即t的值为或.

18．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.

（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；

（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？

参考数据：，其中.

【答案】（1），表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

【分析】（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表；

（2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论

【详解】解：（1）由已知得解得

补全表中所缺数据如下：

（2）根据题意计算观测值为，

所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

19．请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大.

已知在的展开式中，___________.

(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；

(2)求展开式中的所有有理项.（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.）

【答案】(1)，第五项

(2)

【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③根据有且只有第四项的二项式系数最大，求n值，均为.

（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项；

（2）将代入并写出展开式通项，再根据有偶数，从而可确定有理项．

【详解】（1）由二项式知：展开式通项为，

①第2项与第3项的二项式系数分别为、，故，

∴，整理得，又，解得.

②第2项与第3项的系数分别为，，则有，解得.

③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知.

由上知：展开式通项为，

当，有时，常数项为.

（2）由上知：的展开项通项为，要求有理项，可知，

∴有理项分别为，，，，即为

20．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，

平面，，

四边形为菱形且为中点，，又，，

又，，

平面，，平面.

（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则，，

，，，，

则，，，

设平面的法向量，

则，令，则，，，

设平面的法向量，

则，令，则，，，

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.

21．已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.

(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；

(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）先通过全概率公式求出题目答对了的概率，在通过条件计算答对的情况下，知道单项选择题正确答案的概率即可；

（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的，则可能取值为0，2，5，依次计算的概率，即可根据结果列出分布列.

【详解】（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，

则，，，

由全概率公式：，

所求概率为.

（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的.

可能取值为0，2，5，

，

，

.

随机变量的分布列为

22．已知双曲线的虚轴长为4，且经过点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)双曲线的左､右顶点分别为，过左顶点作实轴的垂线交一条渐近线于点，过作直线分别交双曲线左､右两支于两点，直线分别交于两点.证明：四边形为平行四边形.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据虚轴长为4，且经过点这两个条件可求解；

（2）要证明四边形为平行四边形，即证明对角线相互平分，也就是证明其对称性，这一点通过横坐标之和为零实现.

【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为4，且经过，

所以解得

所以双曲线的标准方程为.

（2）联立得，由题意知过点的直线斜率存在，

设过点的直线方程为，

联立得，

则，得，

所以，

因为，所以直线的方程为，

联立解得，

同理可得，

所以

因为

即.

所以对角线与互相平分，即四边形为平行四边形.