2022-2023学年海南省东方市东方中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年海南省东方市东方中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【分析】根据共线向量的坐标表示求得结果.

【详解】已知向量，，，

所以，解得.

故选：A.

2．已知函数，则的极小值为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【分析】利用导数求极值.

【详解】函数的定义域为.导函数.

令，解得：.

列表得：

所以的极小值为-1.

故选：B

3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角.

【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，

因为为正三角形，所以与所成的角为，

所以异面直线与所成的角为.

故选：C.

4．记等差数列的前项和为，若，则（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】A

【分析】根据等差数列的求和公式由求出，利用等差数列的性质可得答案.

【详解】因为数列为等差数列，所以，

所以，所以.

故选：A.

5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，

所以.

故选：D

6．已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（    ）

A．50% B．32% C．30% D．27%

【答案】D

【分析】先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果.

【详解】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350，450，200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35，135，100，

所以该地区学生的平均近视率为，

故选：D.

7．排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，且各局之间互不影响，前两局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，

由独立事件的概率公式可得，

因此，则最后乙队获胜的概率是.

故选：B.

8．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数的计算以及条件概率的计算求得正确答案.

【详解】在男主任医师被选派的条件下，

两名主任医师都被选派的概率为.

故选：C

二、多选题

9．关于的展开式，下列判断正确的是(    )

A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128

C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为

【答案】ABD

【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．

【详解】展开式共有项，故A正确．

展开式的各二项式系数的和为，故B正确．

展开式的第7项的二项式系数为，故C错误．

展开式的各项系数的和为，故D正确．

故选：ABD．

10．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X，则（   ）

A．X服从二项分布 B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据已知，即可判断A项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根据二项分布求解，判断B、C、D.

【详解】对于A项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X服从二项分布，故A项正确；

对于B项，每次取球后得1分的概率，则.

所以，，故B项错误；

对于C项，因为，所以，故C项正确；

对于D项，因为，所以，故D项错误.

故选：AC.

11．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ）

A． B．

C． D．的坐标为

【答案】AC

【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.

【详解】由题可知,由，，

所以，.

故选：AC．

12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立,从而得到答案.

【详解】对于A选项，，

则，

当时，恒有，是凸函数；

对于B选项，，

则，当上，恒有，是凸函数；

对于C选项，若，

则在上恒成立，是凸函数；

对于D选项，若，

则，则在上恒成立，

故不是凸函数.

故选：ABC.

【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.

三、填空题

13．的展开式中的常数项为           .

【答案】

【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.

【详解】的展开式通项公式为，

令，解得，

故，

所以展开式中常数项为.

故答案为：

14．已知随机变量的分布列如下：

则的值为          ．

【答案】/

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可.

【详解】由随机变量的分布列可知，

所以，

故答案为：

15．在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔.从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，要求至少有一名女生，则不同的选法共有           种.（请用数字作答）

【答案】16

【分析】至少一名女生包含两类，1女生2男生和2女生1男生，利用组合知识进行求解.

【详解】因为共有2名女生，所以至少有一名女生入选的方法有.

故答案为：16.

16．已知随机变量服从二项分布，则       .

【答案】/4.8

【分析】根据二项分布的方差运算公式以及变量间的方差关系公式即可求解.

【详解】因为,所以,

所以.

故答案为:.

四、解答题

17．已知等比数列满足，，为数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到；

（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，.

（2），，解得：.

18．某运动员射击一次所得环数的分布列如下：

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2

【分析】（1）先计算两次命中8环，9环，10环的概率，然后可得结果.

（2）列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果.

【详解】（1）两次都命中8环的概率为

两次都命中9环的概率为

两次都命中10环的概率为

设该运动员两次命中的环数相同的概率为

（2）的可能取值为8，9，10

，

，

，

的分布列为

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，重在于对随机变量的取值以及数学期望的公式的掌握，属基础题.

19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

【详解】（1）因为，，为的中点，

所以，

因为四棱锥的底面是矩形，

所以，

所以，所以，

而，即，

因为底面，底面，

所以，而平面，

所以平面；

（2）因为平面，平面，

所以，

因为四棱锥的底面是矩形，

所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为平面，

所以平面的法向量为，

设平面的法向量为，

，，

于是有，

平面与平面所成角的余弦值为.

20．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.

（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.

【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，

因为椭圆经过点且长轴长为，

所以，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）由已知设直线l的方程为，设，.

将直线代入，

得，

所以，，

.

21．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.每个人回答是否正确互不影响．

(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；

(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率公式可求得结果；

（2）根据全概率公式直接计算即可.

【详解】（1）记甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则事件相互独立；

由题意知：，，，

，，

则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率.

（2）记该问题回答正确为事件，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件，

则，，，，，，

.

22．已知.

(1)求函数的最小值；

(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数即可求得的最小值；

（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数即可得解.

【详解】（1）依题意，的定义域是，，..

所以当时，单调递减；当时，单调递增；

所以当时，取得最小值.

（2）因为存在，使成立，

即能成立，即能成立，

令，则，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以当时，取得最小值，所以.

【点睛】结论点睛：有解问题：

（1）有解；有解．

（2）有解；有解．

（3）有解；有解．

（4），，．