2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．一质点沿直线运动，位移（单位：与时间）（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对函数求导，然后把代入导函数中即可求解．

【详解】因为，

所以，

则质点在时的瞬时速度为．

故选：B．

2．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（    ）

A．5 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【分析】求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．

【详解】因为，

所以，

所以在上，单调递增，

在上，单调递减，

所以当时，最大，故A，B，D错误.

故选：C．

3．已知，则为（　　）

A． B． C． D．π

【答案】A

【解析】根据导数运算,求得,代入即可求解.

【详解】因为

所以由导数运算公式可得

所以

故选:A

【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.

4．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

5．函数的最小值为（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】C

【分析】利用导数得函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

【详解】，

，

令，解得，

令，解得或，

故在单调递减，在单调递增，在单调递减，

而，

故在上的最小值是0.

故选：C．

6．已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据实数成等比数列，可得．利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．

【详解】因为实数成等比数列，所以，

由，得，

令，解得，

当或时，，当时，，

所以函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．

所以时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．

因为曲线的极大值点为，极大值为，

所以，，即．

所以，所以，

故选：A．

7．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.

8．已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（    ）

A．0或1 B．1或 C．0或 D．或

【答案】B

【分析】求得，进而得到曲线在处的切线方程，根据题意，列出方程，即可求解.

【详解】由函数，可得，

则且，

所以曲线在处的切线方程为，

取，可得；取，可得，

因为在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，可得，

解得或.

故选：B.

二、多选题

9．下列各式中正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据基本初等函数和积的导数、商的导数、复合函数的求导公式进行求导即可．

【详解】解：对于A，因为，故正确；

对于B，因为，故错误；

对于C，因为，故正确；

对于D，因为，故错误．

故选：．

10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.

【详解】对于选项A，定义域为关于原点对称，且，故为奇函数，

又，所以在上单调递增，故满足；

对于选项B，定义域为关于原点对称，，故为奇函数，

又，且不恒为0，所以在上单调递增，故满足；

对于选项C，定义域为关于原点对称，，故为偶函数，不满足；

对于选项D，定义域为关于原点对称，，为奇函数，

又，所以在上单调递增，故满足．

故选：ABD．

11．过点作曲线的切线，则直线的方程可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】首先求出函数的导数，设切点坐标为，则，解得，即可求出切线方程；

【详解】解：

，设切点坐标为，则

解得或

当时，切线方程为；

当时，切点为，斜率，故切线方程为，整理为

故选：

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过一点的切线方程，属于基础题.

12．若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先构造函数，通过求导，再结合已知条件判断出单调性，然后再分析每个选项即可.

【详解】设，则，因为，

所以，在R上是增函数，因为a是正实数，所以，

所以，即，又，故，大小不确定，故A错误.

因为，所以，即，故B正确.

因为，所以，即，又，

所以，大小不确定，故C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．函数的单调递减区间为       .

【答案】/

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，

，

由得，由得，

所以在区间上单调递减．

故答案为：

14．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为            ．

【答案】.

【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.

【详解】设，可得，

因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，

又由，可得，

所以当时，，即不等式的解集为.

故答案为：.

15．已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离为         .

【答案】/

【分析】利用导数求出与直线平行，且与曲线相切的切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．

【详解】由，且，

得，

令，得，

解得或（舍去）．

当时，，

即曲线上过点的直线与直线平行，

则所求点的坐标为，点到直线的最小距离为：

．

故答案为：．

16．已知函数的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：

①函数的极大值点为0,4；

②函数在[0,2]上是减函数；

③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1<a<2时，函数有4个零点.

其中正确命题的序号是          ．

【答案】①②

【详解】试题分析： ①由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，，所以①正确；

②因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以②正确；

③由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；

④由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故④不正确.

综上所述，正确命题的个数为2.

【解析】利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用.

四、解答题

17．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.

(1)求定点的坐标与圆的方程；

(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程；

（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.

【详解】（1）变形为，

令，解得：，

故定点的坐标为，

由圆心在直线上可设圆心坐标为，则，

即，解得：，

故圆心坐标为，半径为，

故圆的方程为；

（2）当直线斜率不存在时，直线为，

此时圆心到的距离为，

由垂径定理得：弦长为，满足要求，

当直线斜率存在时，设直线为，

圆心到直线即距离为，

由垂径定理得：，解得：，

故直线方程为：即

综上：直线方程为或

18．若函数，当时，函数有极值.

（1）求函数的极大值；

（2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值；

（2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围．

【详解】解：（1），

由题意知，解得.

故所求的解析式为

可得，

令，得或，

由此可得

所以当时，有极大值.

（2）由（1）知，得到当或时，为增函数；

当时，为减函数，

∴函数的图象大致如图，

由图可知当时，与有三个交点，

所以实数的取值范围为.

【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题.

19．如图，在正三棱柱中，点为的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求直线到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.

(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.

【详解】（1）连接交于点，点为的中点,点为的中点

∵是的中位线，

∴，平面,平面.

∴平面．

（2）如图建立空间直角坐标系

由（1）得，直线到平面的距离即为点C到平面的距离d，

因为，，，，

所以，

且，，

设平面的法向量为，

由于可得，

故取，

得，

因此直线到平面的距离．

20．已知数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即可；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为，所以，所以，

所以，当时，，，

所以数列是首项，公比的等比数列，所以；

（2）由得，所以，，

两式相减，得，，所以.

21．已知函数．

(1)若在处的切线与直线平行，求实数的值．

(2)若在上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）求出函数的导数可得切线的斜率，由直线平行的条件，得到关于的方程，解出即可；

（2）在上单调递增即为在上恒成立，转化为在上恒成立，求出在上值域可得答案．

【详解】（1）函数的导数为，

则在处的切线斜率为，

由于在处的切线与直线平行，

则，解得，，点不在直线上，

所以.

（2）由于，在上单调递增，

即为在上恒成立，即有在上恒成立，

由于在上值域为，则有，即．

故实数的取值范围是．

22．已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线过椭圆右焦点交椭圆于A，两点，在轴上是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点，使得为定值

【分析】（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，代入椭圆的方程，解得，，进而可得答案．

（2）由（1）知，进而可得椭圆的右焦点为的坐标，设，，设直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由向量数量积的坐标表示可得，当时，为定值，再讨论斜率为零时，即可得出答案．

【详解】（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，

所以代入椭圆方程可得，解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）知，

设椭圆的右焦点为，，，

此时,

当斜率不为零时，不妨设直线，

由，得，

所以，，

因为，，

所以

，

显然当，解得，

即时，为定值，

当斜率为零时，此时不妨令，

若，可得，与斜率不为零时定值相同，

综上，所以存在定点，使得为定值．