2023届四川省资中县第二中学高三上学期10月月考数学（理）试题含答案

这是一份2023届四川省资中县第二中学高三上学期10月月考数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出，解绝对值不等式求出，从而求出交集.
【详解】由对数函数真数大于0得到，解得：，所以，
由，解得：，所以，
故．
故选：B
2．在复平面内，若复数z对应的点为，则（ ）
A．2B．2iC．D．
【答案】D
【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.
【详解】由复数的几何意义可知，
故.
故选：D.
3．“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施.下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是（ ）

A．2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省
B．2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省
C．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠甲省肺炎”确诊人数的波动大
D．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增“新冠肺炎”确诊人数均比甲省多
【答案】C
【分析】根据图象计算平均数,读数进行比较即可得到结果.
【详解】根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数为20， 单日新增最大值为28； 2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，单日新增最大值为29，故可得A、B正确；
从图中可观察出甲省人数在之间变化，乙省人数在之间变化，很明显甲省的波动大，故C错误；
由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，考查用样本的数字特征估计总体，属于基础题．
4．若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接由且与不共线求解即可.
【详解】由题意知，且与不共线，且，解得．
故选：C.
5．在的展开式中，x的系数为（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.
【详解】的展开式中，含x的项为，故x的系数为3，
故选：B
6．函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.
【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
7．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的概念，先求出向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式．
【详解】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，
得的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图像的函数解析式是．
故选：C．
8．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数．其中正确命题的个数是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】①举一个例子y=-，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；
②由若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0，或者b2-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命题错；
③当x≥0时，y=x2-2x-3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x2+2x-3，为对称轴为直线x=-1的开口向上的抛物线，所以[-1，0]为增区间，综上，y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）和[-1，0]，故③不正确；
④因为y=1+x和y=
=|1+x|表示的函数的解析式不同，故命题不正确．
故答案为A
9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别计算全部基本事件数，以及满足的事件数，根据古典概型的计算公式即可求解.
【详解】先后抛两枚骰子，可得所有的基本事件个数为种，
由得,满足条件的共有3对，分别为：且,且,且,故概率为，
故选：D
10．设，，，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最大值，然后结合函数单调性即可比较大小．
【详解】解：令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最大值，
因为，，，
，
当时，函数单调递增，
可得，即．
故选：B．
11．函数定义域为R，且，若函数的图象关于对称，且，则=（ ）
A．3B．-3C．6D．-6
【答案】A
【分析】由题设可知为偶函数且，即可得，易知是周期为4的函数，利用周期性求即可.
【详解】∵的图象关于对称，
∴关于轴对称，即为偶函数，
又，即，而，
∴，故，
∴是周期为4的函数，
综上，.
故选：A
12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分离参数，将变为，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
【详解】由不等式对任意恒成立，此时 ，
可得 恒成立，
令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；
令 ，则，
当 时，，当时，，
故，即，
所以， ，当且仅当 时取等号，
令，则，
当 时，，当时，，
故 ，且当时，也会取到正值，
即在 时有根，即 等号成立，
所以 ，
则，故 ，
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.
二、填空题
13．已知，若，则 ．
【答案】
【分析】由指数式与对数式的互化公式，得到，即可求得的值，得到答案.
【详解】由对数式与指数式的互化，因为，可得，
所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知,其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围 .
【答案】
【分析】解不等式求出p与q的的取值范围，再利用q是p的必要不充分条件即可求解.
【详解】p：，
所以不等式的解集为，
q：，其中，
解得，不等式的解集为.
由q是p的必要不充分条件，
则且，
所以，
则且等号不同时成立，解得.
故答案为：.
15．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式讨论的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】当时，的取值范围是,
当时，,
若存在最小值，则，
解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．若函数f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】对求导后令,再根据是导函数的两根数形结合分析两根的关系求解.
【详解】函数,所以,
若函数在 和两处取到极值,则和是函数的两个零点,
即是方程,即的两个根,
所以函数的图象与直线有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为,
由于,所以当 或时, ；
当时, ；故的减区间有 和 ,增区间有,
且当时,,作出的草图：
由图可知：,且,
因为,即,取,并令,则
所以,解得,此时 ,
故,即实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数的极值问题,包括数形结合求解函数零点与范围分析的问题,需要根据题意参变分离画出图像分析极值点之间的关系,并找到临界条件进行分析.属于中等题型.
三、解答题
17．已知，．
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若为真命题，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况讨论，当时需满足，即可求出参数的取值范围；
（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，依题意为真命题，则为真命题且为真命题，取两个范围的公共部分即可得解.
【详解】（1）解：若命题为真命题，
当时，不恒成立，不符合题意；
当时，，解得．
综上所述，，即．
（2）解：若命题为真命题，即，，则成立，
因为在上单调递减，所以，所以．
因为为真命题，所以为真命题且为真命题，
所以，即，即的取值范围为．
18．已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1），，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
（2），因此
19．某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务､小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.
(1)根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：
(2)在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？
(3)在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.
附：，其中.
【答案】(1)答案见解析；
(2)列联表答案见解析，有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”；
(3).
【分析】(1)由给定的频率分布直方图求出各分值段的频率即可计算作答.
(2)利用(1)的结论及给定信息列出列联表，再计算的观测值，与临界值表比对作答.
(3)求出8位业主中男女人数，再进行编号，用列举法及古典概率公式计算作答.
【详解】（1）根据频率分布直方图知，分值在区间，，，，，内
的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，
各分值段的业主人数为：
（2）由(1)及已知得列联表如下：
的观测值为：，
所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.
（3）由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，
记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，
共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，
所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.
20．已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)定义域为，奇函数
(2)存在，当时，，当时，
【分析】（1）由对数函数的性质求定义，由奇偶性定义判断奇偶性；
（2）分类讨论得函数的单调性，则单调性解不等式可得，注意对数函数的定义域．
【详解】（1）由得.所以的定义域为，
因为函数的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.
21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题得，再代入极坐标公式即得解；
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到韦达定理，再利用直线参数方程的几何意义求解.
【详解】（1）解：因为，所以．
根据，得出曲线C的直角坐标方程为．
（2）解：将代入，得．
设这个方程的两个实数根分别为，，则，．
由参数t的几何意义可知，．
22．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为3
【分析】（1）根据x的范围分段取绝对值符号，求解可得；
（2）利用绝对值三角不等式求得m，然后妙用“1”，展开使用基本不等式可得.
【详解】（1），即.
当时，，解得；
当时，，解得，又，所以；
当时，，解得，又，所以.
综上，不等式的解集为.
（2），
当且仅当，即时取等号，所以，即.
所以，
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为3.
分值
人数
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
分值
人数
12
16
20
24
18
10
不满意
满意
总计
男
18
32
50
女
30
20
50
总计
48
52
100