2023届福建省莆田锦江中学高三上学期期中数学试题含答案

2023届福建省莆田锦江中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求出，进而求出交集.

【详解】由题意，得，，

.

故选：A.

2．“，”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.

【详解】，时，，

，时，，

所以“，”是“”的充分而不必要条件，

故选:.

3．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.

【详解】因为，定义域为R

所以

所以为奇函数，且，排除CD

当时，，即，排除A

故选：B.

4．已知函数是奇函数，当时，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义运算求解.

【详解】因为函数是奇函数，所以.

故选：B.

5．已知是等差数列，，，则的公差等于（    ）

A．3 B．4 C．-3 D．-4

【答案】C

【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．

【详解】，，

则的公差，

故选：C

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解

【详解】由题意，

故选：A

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题

7．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据偶函数的性质和函数在[0,2]上的单调性，将要解不等式等价转化为不等式求解即得.

【详解】为上的偶函数，且在上为单调递增，

∴等价于即，

由（1）得,即,解得或,

由（2）得，解得,

∴或,

即不等式的解集为：,

故选：C.

8．已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦型函数的性质即可列不等关系求解.

【详解】由题意，函数，

因为，可得，

又函数的图象在区间上恰有3个最高点，所以，

解得，即实数的取值范围是，

故选:C

二、多选题

9．已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和.若a2a3=8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则（    ）

A．a1=-1 B．公比q=-2 C．a4=8 D．S5=31

【答案】CD

【分析】利用等比数列的基本量运算求出数列的首项和公比，利用求和公式可得S5，结合选项逐一判断即可．

【详解】∵a2a3=8a1，∴a1q3=8，即a4=8.

∵a4+2a5=40，∴a4(1+2q)=40，∴q=2，a1=1.

∴S5 =31.

故选：CD

10．下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据各项函数的定义域，结合函数的奇偶性和单调性分别对选项进行判断即可．

【详解】函数的定义域为，而函数在其定义域内不具有单调性，故A不符合题意；

函数的定义域为，由幂函数的性质，可知函数在上单调递增，且为奇函数，故B符合题意；

由正切函数的性质可知，函数的定义域为，且函数在其定义域内不具有单调性，故C不符合题意；

由二次函数的性质可知，函数在上单调递增，函数在上单调递增，又当时，，所以函数在其定义域上是增函数；令设任意的，则，所以，所以函数为奇函数，故D符合题意.

故选：BD.

11．在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的面积为

C． D．为锐角三角形

【答案】AB

【解析】已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积.

【详解】∵，∴，

∴，

即，∴．

∵在中，，∴，∴，A正确．

由余弦定理，得得，

，即，

解得或，又，∴，C错误，

∴的面积，B正确．

又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误．

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题.

12．关于函数，下列说法中错误的是（    ）

A．其表达式可写成

B．曲线关于点对称

C．在区间上单调递增

D．，使得恒成立

【答案】ABD

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，可判断选项A；当时，求出函数值，可判断选项B；利用区间范围以及整体代换，判断单调性，可得选项C正确；

利用最小正周期的定义结合函数解析式判断选项D．

【详解】 ，

，所以A不正确；

当时，有，所以B不正确；

当时，有，因为，所以C正确；

的最小正周期，若，使得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确．

故选：ABD

三、填空题

13．曲线在处的切线方程为      ．

【答案】

【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．

【详解】解：的导数为，

可得曲线在处的切线斜率为，切点为，

即有切线方程为．

故答案为．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．

14．正实数 满足：，则的最小值为     .

【答案】9

【解析】根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.

【详解】，当且仅当 时取等号．

故答案为：9．

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

15．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为        ．

【答案】.

【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出.

【详解】［方法一］：【最优解】边化角

因为，由正弦定理得，

因为，所以．又因为，

由余弦定理，可得，

所以，即为锐角，且，从而求得，

所以的面积为.

故答案为：.

［方法二］：角化边

因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，

由余弦定理，可得，

所以，即为锐角，且，从而求得，

所以的面积为.

故答案为：.

【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；

方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．

16．已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围                  .

【答案】

【分析】采用数形结合，先计算直线直线与曲线相切时，的值，然后讨论，的情况，最后判断可得结果.

【详解】作出函数的图象如图所示：

先考虑直线与曲线相切时，的取值，

设切点为，对函数求导得，

切线方程为，即，则有，

解得，由图象可知，

当时，

直线与函数在上的图象没有公共点，

在有一个公共点，不合乎题意；

当时，

直线与函数在上的图象没有公共点，

在有两个公共点，合乎题意；

当时，

直线与函数在上的图象只有一个公共点，

在有两个公共点，不合乎题意；

当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；

（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.

【详解】（1）因为，

令，解得，

则的单调递增区间是；

（2）由（1）可得．

因为，所以，

所以，

所以，

即在区间内的值域为．

18．在锐角中，角的对边分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，由此可得；

（2）利用正弦定理可将化为，利用两角和差公式和辅助角公式

可化简得到；根据正弦型函数值域求法，结合的范围可得结果.

【详解】（1）由正弦定理得：，

，

，，，.

（2）由正弦定理得：，，，

；

为锐角三角形，，即，，

，，，

即的取值范围为.

19．在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，求证．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为d，再根据题意列基本量的关系式求解即可；

（2）代入可得，再根据裂项相消求和，结合的单调性证明即可

【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，，

∵，∴，解得，

∴．

（2）∵，

∴

因为，所以，故，即得证

20．如图，在三棱柱中，平面为线段上的一点.

(1)求证：；

(2)若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

（2）先求出平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，

所以，

因为，所以两两垂直，

所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，如图所示，

则,

设，

所以，

所以，

所以，

所以

（2）因为为线段上的中点，所以，

所以，,

设平面的法向量为，则

，令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

因为，所以，

所以直线与平面所成角的大小为.

21．“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：

（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？

（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关．

（i）根据上表数据，建立关于的线性回归方程；

（ii）记由（i）中回归方程得到的预测步数为，若从5天中任取3天，记的天数为X，求X的分布列以及数学期望．

附参考公式与数据：，；K2=；

【答案】（1）有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）,（ii）X的分布列为：

．

【分析】（1）根据列联表，计算,再根据所给的表中的数据，得出结论．

（2）（i）分别计算出的值，代入公式中得出、的值，写出关于的线性回归方程．

（ii）分别计算出每天的预测步数为，求出的天数，确定X的可能取值，求出每个可能取值的概率，列出分布列，求出数学期望．

【详解】（1），

所以有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；

（2）（i）

,

，

所以关于的线性回归方程为．

（ii）根据线性回归方程，把=1，2，3，4，5分别代入线性回归方程中，求出每天的预测步数，如下表所示：

由表中可知：的天数共有3天，从5天中任取3天，记的天数为X，

X=1，2，3；

X的分布列为：

．

【点睛】本题考查了独立性检验中的计算、线性回归方程、离散型随机变量分布列及数学期望．

22．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)

【分析】（1）当时， ，求出，可得函数的单调区间；

（2）依题意得，，然后求导，得，然后，分情况讨论即可求出实数的取值范围

【详解】（1）函数的定义域为

当时，

令得，解得，

令得，解得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为

（2），

由得

①当时，，函数在上单调递增，

所以，即，函数在上没有零点.

②当时，时，，时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

因为，

所以函数在有两个零点只需

解得

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题