2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题含答案

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1．答卷前考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号、考点名称、考场号等信息填写在相应位置．
2．答卷时考生务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔作答（作图可用黑色铅笔）．答案直接写在试卷上，密封线内不要答题．
3．本试卷共5页，答题时间90分钟，满分150分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母填写在下列表格中．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，即，所以，所以，因为
所以
故选：C
2. 复数z满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据条件找出的关系，然后计算
【详解】设，则，
由，根据复数的模长公式，，
即，.
故选：B
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A.由二次函数的性质判断；B.由一次函数的性质判断；C.由反比例函数的性质判断；D.由 判断；
【详解】A. 由二次函数的性质得，该函数是偶函数，在区间上单调递减，故错误；
B. 由一次函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间上单调递减，故错误；
C. 由反比例函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间上单调递减，故错误；
D. ，设，定义域为，关于原点对称，且，则该函数是偶函数，在区间上单调递增，故正确；
故选：D.
4. 某工厂生产产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A. 该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B. 该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C. 该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D. 该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【解析】
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较，，与中间量0，1的大小，从而可比较出，，的大小关系
【详解】解：因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，
故选：A
6. 已知向量，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求，判断AB，根据向量的坐标运算求，再由向量的模的坐标表示求，判断CD.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，A错误，B错误，
所以，
所以，C正确，D错误.
故选：C.
7. 中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ）
A. 中位数B. 极差C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合中位数的定义，即可判断和选择.
【详解】其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩．
若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，
因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛.
故选：．
8. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.
【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；
对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；
对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，
又因为，可得，所以C项正确；
对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明.
【详解】A选项，若，则，A选项错误；
B选项，，
由于，故，，故，
即，B选项正确；
C选项，，由于，故，
即，C选项错误；
D选项，根据基本不等式，，
当且，即时取得等号，此时，D选项错误.
故选：B
10. 在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设底面的外接圆的半径为r，，由正弦定理表示出r，确定外接球球心位置，求得其半径的表达式，结合正弦函数性质求得外接球半径的最小值，即可得答案.
【详解】设底面的外接圆的半径为r，，
则在中，，可得，所以，
设底面三角形的外心为，过作底面的垂线，
由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为R，而，
则外接球的半径为，
即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值，
此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,
故选：B
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）请将答案填在题中横线上．
11. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件：12，13，14，23，24，34，共6个，
其中两个数都是偶数的有：24，共1个，
所以两个数都是偶数的概率是，
故答案为：
12. 已知函数用列表法表示如下表，则______
【答案】0
【解析】
【分析】由表格给出的数据有，则可求出答案.
【详解】根据表格中的数据有
所以
故答案为：0
【点睛】本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂性质进行计算.
【详解】原式
故答案为：
14. 数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．
【答案】8.4
【解析】
【分析】利用第p百分位数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以第30百分位数是8.4，
故答案为：8.4
15. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式对化简后代值求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
16. 中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据即可得，进而得答案.
【详解】因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助得，进而求解.
17. 若f（10x）＝x，则f（5）＝_________．
【答案】lg5
【解析】
【详解】试题分析：令10x＝t，则，∴，∴f（5）＝lg5
考点：本题考查函数解析式的求法及求值
点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题
18. 若满足对任意的实数a、b都有且，则________．
【答案】2024
【解析】
【分析】根据且，令得到求解.
【详解】解：因为满足对任意的实数a、b都有且，
令得，即，
所以，
所以，
故答案为：2024
三、解答题（本大题共5小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为．
（1）求p的值；
（2）若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）记解答三道题正确分别为事件，则，从而可求出p的值；
（2）记事件为至少答对2道题，则，然后利用独立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
记解答三道题正确分别为事件，则,
因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为，
所以，解得
【小问2详解】
记事件为至少答对2道题，则由题意得
所以他获奖的概率为
20. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

（1）求证平面；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）与所成角余弦值为.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面；
（2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，

∵分别为的中点，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
因为，
所以为直线与所成角，
中，，
直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，

则，，，，
，所以为等腰三角形，则，
中，，
所以，
中，，
所以
所以与所成角的余弦值为.
21. 在中，分别为内角所对的边，若，．
（1）求的面积；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【小问1详解】
由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
【小问2详解】
由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
22. 已知函数的部分图像如图示，且，．

（1）求函数的解析式；
（2）若，求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）的最大值为,的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据图像得到，再由，得到函数图像的一条对称轴，然后再由和求得函数的解析式.
（2）根据，求出，结合正弦函数的图像性质求出最值即可.
【小问1详解】
由图像可知，因为，所以函数图像的一条对称轴为直线，
设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即，
所以，，即，．因为，所以，所以．
【小问2详解】
,
当即的最小值为；
当即的最大值为.
23. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a的取值范围为；
（2）a的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.
（2）由（1）可得函数在上的最大值为，由条件可得，解不等式可得a的取值范围．
【小问1详解】
任取两个实数，满足，
由题意可得，
即，
在定义域上是增函数.
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，
所以，可化为
所以
所以，
解得，
a的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知函数在定义域上是增函数，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
又是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以函数在定义域上的最大值为，
因为不等式恒成立，
所以，所以，
故不等式可化为，
所以，
解得或，
所以a的取值范围为．
0
1
2
2
0
1