2023届四川省江油中学高三上学期第一次阶段考试数学（文）试题含答案

2023届四川省江油中学高三上学期第一次阶段考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数z满足(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为(    )

A．1 B．i C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则和概念即可得答案.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴的虚部为．

故选：D.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合对数函数的定义域、单调性以及充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】当时，.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性与单调性的性质分别进行判断即可得解.

【详解】对于A，为奇函数，其定义域为，故不是增函数，只是在每个分段区间单增，故A错误；

对于B，定义域为，是单调增函数，是非奇非偶函数，故B错误；

对于C，定义域为，是奇函数，且在上单调递增，故C正确；

对于D，定义域为，是偶函数，且在上单调递增，故D错误；

故选：C

4．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平方关系和商数关系列式计算作答.

【详解】由，，知，，而，

于是，而，所以.

故选：C

5．设函数，则的值为 （    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据解析式判断-2所在的范围，先求的值，再把的值当自变量，判断的范围并代入相应的解析式求值.

【详解】解：因为，所以，

又，所以.

故选：C.

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性判断，的范围，进而可得，，的大小关系.

【详解】因为，，

所以

故选：C.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】解：由诱导公式可得，所以，.

因此，.

故选：D.

8．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．直线是图象的一条对称轴

B．图象的对称中心为，

C．在区间上单调递增

D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

【答案】C

【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.

【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ，

所以 ，

将点代入函数解析式中，得：，结合，

所以，故，

对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;

对于B，令，则，

即图象的对称中心为，，故B错误；

对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，

故在区间上单调递增，故C正确；

对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；

故选：C

9．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.

【详解】根据题意，函数是偶函数，

则函数的对称轴为，

则有，

又由函数的图象关于点成中心对称，

则，

则有，即，

变形可得，

则函数是周期为8的周期函数，

，

故选：B.

10．函数在区间 的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】求导，根据导函数的符号确定的单调区间，求出最大值.

【详解】 ，当 时， ， 单调递增，

当 时 单调递减，当 时， 单调递增；

， ；

故选：D.

11．设函数，则满足的x取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造奇函数，由导数确定单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式．

【详解】设，则，是奇函数，

又．（等号成立的条件是），

所以是增函数，

，，因此有，从而，解得，

故选：A．

12．若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为，从而用表示出，引入新函数，再由导数求其最大值，从而得的范围．

【详解】由题意，由得，

，由得，

因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为，

所以，即，，

令，则，

时，，递增，时，，递减，

所以，显然时，，

所以，

故选：A．

二、填空题

13．若函数，则曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义,求出,即可得出切线方程.

【详解】,

所以所求切线的方程为.

故答案为：.

14．已知，且，则______．

【答案】

【分析】先求出、，结合平方关系求得，再由余弦差角公式求解即可.

【详解】由可得，则，

，则，则；

则.

故答案为：.

15．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

【答案】/

【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.

【详解】[方法一]：余弦定理

设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，.

故答案为：.

[方法二]：建系法

令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）

[方法三]：余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

，，

，，

令，则，

，

，

当且仅当，即时等号成立.

[方法四]：判别式法

设，则

在中，，

在中，，

所以，记，

则

由方程有解得：

即，解得：

所以，此时

所以当取最小值时，，即.

16．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“度和谐函数”，称为“度密切区间”．设函数与在上是“度和谐函数”，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】由“度和谐函数”，得到对任意的，，都有，化简整理得，令，求出的最值，只要不大于最小值，且不小于最大值即可．

【详解】函数与在，上是“度和谐函数”，

对任意的，，都有，

即有，即，

令，，

时，，时，，

时，取极小值1，也为最小值，

故在，上的最小值是1，最大值是．

且，

．

故答案为：.

【点睛】本题考查函数新定义及运用、考查不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意转化为求函数的最值.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的是小正周期及单调减区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)，单调递减区间为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；

（2）利用整体思想结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）解：

，

所以，

令，

则，

所以函数的单调递减区间为；

（2）解：因为，所以，

所以，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为.

18．如图，在四边形中，，，，.

(1)求；

(2)若，求的长.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）先求出，在中结合正弦定理求解即可；

（2）根据题中条件运用二倍角公式求出的值，然后在中结合余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，

在中，根据正弦定理知，，

即，

解得.

（2）因为且，

所以.

因为，

所以，

在中，由余弦定理知，，

即，

所以，即，

解得或（舍去），

所以的长为3.

19．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.

(1)求角C的大小；

(2)若，求的周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可昨角；

（2）由正弦定理把用角表示，并由两角和与差的正弦公式化简，由锐角三角形得的范围，然后由正弦函数性质得取值范围，从而得周长范围．

【详解】（1）由正弦定理得：，代入，

∴，又，

∴，而0<C< ，则，

∴，故.

（2）由正弦定理得：，

，

因为为锐角三角形，所以，，

由内角和为，则，

所以，则，

周长为，

故的取值范围为.

20．已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行．

(1)求；

(2)若方程在区间上有三个不同的根，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，根据题意可得，即可得出答案；

（2）函数在区间上有三个交点，即函数和函数在区间上有三个交点，利用导数求出函数的极值和端点函数值，即可得出答案.

【详解】（1）解：函数的导函数为，

由题意得即，解得，

，

经检验，符合题意，

；

（2）解：由（1）得，

当或时，由，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

函数在处取得极大值，在处取极小值，

，，，，

因为方程在区间上有三个不同的根，

所以函数和函数在区间上有三个交点，

．

21．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）.

【分析】（1）时，，定义域为，求导，利用导数的正负求的单调区间；

（2）由函数在 上有两个极值点，求导，根据判别式可得，不等式恒成立即为 ，求得，令求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即可求得的范围．

【详解】（1）时，，定义域为，

.

∴时：，时，，

∴的单调增区间为，单调减区间为.

（2）函数在上有两个极值点，.

由得，

当，时，，，，则，∴.

由，可得，，

，

令，则，

因为,，，又.

所以，即时，单调递减，所以，即，

故实数的取值范围是.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；

（2）若过点且与垂直的直线与曲线交于点，，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，根据得直线的直角坐标方程；

（2）得出过点且与垂直的直线的参数方程，代入曲线的参数方程，根据参数的几何意义可得结果.

【详解】（1）由得曲线的普通方程为.

由，得直线的直角坐标方程为.

（2）过点且与垂直的直线的参数方程为（为参数）

代入曲线的参数方程得，

则，

设点对应的参数分别为，则，

所以.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）当时，，然后分，或求解即可，

（2）由绝对值三角不等式可得，解不等式可求得结果

【详解】（1）当时，.

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得；

综上所述：或.

（2）

（当且仅当时取等号），

所以或，

解得或，

∴的取值范围为.