重庆市南开中学2023-2024学年高三上学期第一次质量检测数学试题及答案

重庆市高2024届高三第一次质量检测

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合，集合，则集合的子集的个数是（    ）

A.2 B.4 C.7 D.8

2.命题“，的否定是（    ）

A.“，” B.“，”

C.“，” D.“，”

3.设，，，则（    ）

A. B. C. D.

4.已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为（    ）

A.或 B. C. D.

5.某高铁动车检修基地库房内有A～E共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01、02、高铁01、02、03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A道的概率为（    ）

A. B. C. D.

6.已知函数，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

7.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

8.已知a，，关于x的不等式在R上恒成立，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.定义在R上的偶函数满足，且在单调递增，则以下说法一定正确的是（    ）

A.为周期函数 B. C. D.在单调递减

10.两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为，，求得样本中心点为，回归直线方程为，决定系数为；若将数据调整为，，

求得新的样本中心点为，回归直线方程为，决定系数为，则以下说法正确的有（    ）

附，，

A. B. C. D.

11.已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ）

A.  B.直线l的斜率为

C.，，成等差数列 D.的内切圆半径

12.已知实数a，b满足，函数（e为自然对数的底数）的极大值点和极小值点分别为，且，则下列说法正确的有（    ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从二项分布，若，则______.

14.已知实数a，b满足，则的最小值为______

15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，）

16.已知抛物线焦点为F，斜率为k的直线过F交抛物线于A，B，中点为Q，若圆上存在点P使得，则k的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求证：.

18.（本小题满分12分）如图，多面体中，平面，且，，，M是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的大小.

19.（本小题满分12分）已知函数在处的切线l和直线垂直.

（1）求实数a的值；

（2）若对任意的，，，都有成立（其中e为自然对数的底数），求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.

该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：

首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.

然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：

假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为p（）.

（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为X度，求X的分布列和期望（用p表示）.

（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a元，不开空调的每日平均用电费用为b元，分别求a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）.

（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p的取值范围为多少?

21.（本小题满分12分）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为，焦点到渐近线距离为1，直线与C左右两支分别交于P，Q，且点在双曲线C上.记和面积分别为，，，的斜率分别为，

（1）求双曲线C的方程；

（2）若，试问是否存在实数，使得，，.成等比数列，若存在，求出的值，不存在说明理由.

22.（本小题满分12分）已知函数

（1）求证：当时，；

（2）求证：.

重庆市高2024届高三第一次质量检测

数学试题参考答案与评分细则

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.

1-4DBDB 5-8CBAB

3.D【解析】，，

，故

4.B【解析】由题：恒成立，易知时不满足，

时，有

5.C【解析】记“两动车相邻”，“动车01停在A道”，则

6.B【解析】由题知，易知为奇函数

又和在递增，故由

7.A【解析】由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，

设则

，令，

故在递增，在递减，

8.B【解析】由图像可知，不成立，则，要最大，需要，；

时，时不成立，则；

对于取定的b，要最大需要a更大，所以只需过作的切线，切线斜率即为最大的a.

设切点，则即，

，

所以在取得最大值

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.ABD 10.BC 11.AC 12.ABD

9.ABD【解析】由于，得到关于对称，又因为定义域为R，所以，B正确；

因为是偶函数，

，所以周期为4，A正确；

由于周期性和奇偶性，，C错误；

由于周期为4，在的单调性与的单调性相同，由于偶函数，在的单调性与的单调性相反，所以D正确.

10.BC【解析】，А错误；

的计算中，数据不变，也不变，所以不变，B正确；

，C正确；

由于，变成了，，，从而，都不变，所以，D错误.

11.AC【解析】由可得：，故A正确

设，，，由椭圆离心率为可得：，，

故椭圆方程可化为：，联立直线l方程整理得：.

设，，.则有：，，

又由可得：，

联立可解得：，故B错误

由，.又为上顶点，，

，，

易知满足，故C正确

对于D：由前面的分析知：是以A为直角的直角三角形，故内切圆半径，故D错误

12.ABD【解析】由题方程有两不等实根，且在，上单调递增，在单调递减，故.A正确

令，，则方程有两个不等正实根，，

其中，，从而有：

，

，又，故，

故B正确，C错误

对于D：，D正确

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  14.  15.5.5，2035  16.

13.【解析】X服从二项分布，则，

所以，

14.

【解析】若，则不成立；

若，则，，

所以，时取得

15.5.5 2035

【解析】设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为，

，，故2024年产量为5.5万吨，

，

作差得，所以，

也成立，所以，

由得，

，则n取13，为2035年

16.

【解析】设中点为，即，P在为直径的圆上.所以只需该圆与为直径的圆有公共点即可.

设直线，联立得

解得，，

所以圆心距，即可（不可能内含）

则化简得，

代入得，

17.解：（1）由题意可得，解得，，

因为数列的公差为3，数列的公比为2，所以，

（2）由（1）知：

易知在单调递增，故，取最小值，，

故成立.

18.解：（1）证明：取的中点N，连结，

因为，所以.

因为面，面，所以.

又因为，所以平面.

因为点M是的中点，所以，且.

所以四边形为平行四边形，所以，所以面，

又平面，从而平面平面.

（2）设点O，D分别为，的中点，连结，则，

因为面，面，所以.

因为，由（1）知，又因为

所以，所以为正三角形，所以，

因为面，所以面.

故，，两两垂直，以点O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

，，，，

设平面的法向量，则

所以取，则，

设与平面所成的角为，则，

因为，所以，故与平面所成角的大小为.

（2）另解：

由于，所以即求与平面所成的角.

又因为面，面，所以面面，

而面，面面所以在面的投影为，则即为所求角.

而，，所以，，

则为正三角形，而N是的中点，所以，

故与平面所成角的大小为.

19.解：（1），

由题知，

（2）不妨设，则，

由题可得：，

设，则：

故在单调递增，从而有：在上恒成立，

设，则

在单调递减，在单调递增.

又，故在上最小值

从而有，即

20.解：（1）X的分布列为

（2）开空调时每日用电量：峰段度，谷段度，平段度，则元

不开空调时每日用电量：峰段度，谷段度，平段度则元

（3）分时电价总电费为（元）

30天总用电量度

时，阶梯电价总电费为（元）

时，阶梯电价总电费为（元）

所以，时，，，不成立；

时，，

综上，时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用.

21.解：（1）由题可得，

（2）由点在上可得：.

联立和整理得：

设，，则有：，，

又由直线交左右两支各一点可得：

到直线的距离，

到直线的距离

（）

又，

其中

假设存在实数，使得，，成等比数列，则有

，故存在满足题意

22.解：（1）首先发现，而，

时，，，，单减

则成立；

时，在时单减，

，，

所以存在，，在单增，单减，

而，所以，又

所以存在，，在单增，单减，由于所以，所以在上

综上，在恒成立得证.

（2）由（（1），，

所以

从而

两式相加得：

所以左边得证；

又由（1），，，

所以

从而

两式相加得：

所以右边得证.

（右边不等式另证）设

先证明在成立：

，，单减，

则

而

设，构造，

可知在，单增，

所以，单减，则