四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（　　）

A．3 B．-3 C．3i D．

2．已知，，，则m＝（　　）

A．－2 B．2 C．3 D．－3

3．已知利用斜二测画法绘制某三棱柱的直观图如图所示，则该三棱柱的体积为（　　）

A． B．2 C． D．4

4．已知，，，，则在方向上的投影向量为（　　）

A． B． C． D．

5．已知，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知，是单位向量，，则与的夹角为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（　　）

A． B． C． D．

8．已知点O是的内心，，，则（　　）

A． B． C．2 D．

二、多选题

9．如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（　　）

A．圆锥的表面积为

B．圆锥侧面展开图的圆心角为

C．圆锥的体积为

D．圆锥的轴截面是锐角三角形

10．已知函数，则下列结论中正确的有（　　）

A．函数解析式化简后为：

B．的对称轴为，

C．的对称中心为，

D．的单调递增区间为，

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（　　）

A．若，则A＝30°

B．若A＞90°，则

C．若，b＝4，B＝60°，则有两组解

D．若，则是钝角三角形

12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（　　）

A．若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1

B．若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为

C．若的周长为2，则的最小值为

D．若的面积为，则的最大值为

三、填空题

13．已知，，，若，则k＝　     　．

14．已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为　     　．

15．已知O是所在平面内一点，，则与的面积比　     　．

16．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为　     　．

四、解答题

17．设复数，i为虚数单位，且满足．

（1）求复数z；

（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．

18．如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

（1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；

（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

19．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

20．在中，，，AD交BE于点G，设，．

（1）用，表示，；

（2）若，，，夹角为，求．

21．某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）

（1）求走私船的速度大小；

（2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．

（1）求角B；

（2）求的最小值；

（3）为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】因为，所以 复数z的虚部3.
故选：A.
【分析】根据复数虚部的定义作答.

2．【答案】C

【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的坐标运算

【解析】【解答】，则两个向量平行，故
解得m=3.
故选：C.
【分析】 可以推出两个向量平行，根据向量平行的坐标表示求出m.

3．【答案】D

【知识点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】由图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，底面直角三角形的两条直角边分别为均为2，三棱柱高为2.
所以V=
故选择：D.
【分析】据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，利用棱柱的体积公式即可求解.

4．【答案】A

【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用

【解析】【解答】=(3， 2)， =(-1， 1)
则在方向上的投影向量为 ：=
故选择：A.
【分析】求出和的坐标表示，根据投影向量的坐标公式得到 在方向上的投影向量.

5．【答案】B

【知识点】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】
故选择：B.
【分析】根据二倍角的余弦公式求解.

6．【答案】C

【知识点】数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】根据题意，设与的夹角为，
将 两边平方得到
已知，是单位向量 ，故解得= .
故选择：C.
【分析】由数量积公式求解两个向量的夹角. 通过平方变形得到数量积，已知模长（单位向量）可求出夹角.

7．【答案】D

【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题

【解析】【解答】根据题意，在三棱锥P-ABC中AB= AC=2，SABC =1，
由SABC=AB·AC·sinA=1，
解得sinA=，
又0°<A<180°，则A=30°，
将三棱锥沿侧棱PA展开，得到如图所示的多边形，

因为CPB=30°，PAB，PAC为正三角形，所以APA'=60°+60°+30°=150°，
根据余弦定理，最短距离d=AA'= = .
故选： D.
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出A的值，将三棱锥沿侧棱PA展开，分析其展开图得到APA'，由余弦定理分析可得答案.

8．【答案】D

【知识点】平面向量的共线定理；向量在几何中的应用

【解析】【解答】如图，连接AO并延长交BC于点D，连接CO，

∵O是△ABC的内心，
∴AD为∠A的角平分线，根据角平分线定理有， 所以
∵A，O，D共线，∴可设=t+(1-t)，
则
又
所以
故选择：D.

 【分析】内心可转化为角平分线条件，根据角平分线定理有，所以.由向量共线定理=t+(1-t)得到，因此 .

9．【答案】A,B,C

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】A.圆锥SO母线长l=5，底面半径r=4，S=π×4²+π×4×5=36π，所以A正确；
B.圆心角α=，所以B正确；
C.V=π×42×3=16π，所以C正确；
D.52+52-82<0，轴截面是钝角三角形，所以D不正确
故选：ABC
【分析】利用圆锥的结构特征，求解表面积以及体积，侧面展开图的圆心角，判断选项的正误即可.

10．【答案】A,B,D

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性

【解析】【解答】
A、，正确；
B、令，则 ，，即 的对称轴为，，正确；
C、，可得 的对称中心为，，错误；
D、令，则 的单调递增区间为，
故选：ABD.
【分析】先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可.

11．【答案】B,D

【知识点】正弦定理；余弦定理

【解析】【解答】A、若sin 2A =sin2B，则2A=2B或2A=π-2B，整理得：A=B或A+B=，故△ABC为等2

腰三角形或直角三角形，错误；
B、若sin A> sin B，整理得：2Rsin A>2Rsin B，故a>b，即A>B，正确；
C、由于a=12，b=10，B=60°，则b<asin B，故△ABC无解，错误；
D、若sin2A+sin2B<sin2C，正弦定理得到：a2+b2<C2，故a2+b2-c2cos C<0，故：<C<π，故△ABC是钝角三角形，正确；

故选：BD.

【分析】直接利用三角函数关系式和正弦定理对条件进行转化，得到相应角的三角函数值.

12．【答案】A,B,C

【知识点】平面向量数量积的性质；两角和与差的正切公式

【解析】【解答】A、当△AMN的周长为2时，延长ND至P，使PD=BM，连接PC.

则△CDP△CBM(SAS)，则PC=MC，∠PCD=∠MCB，
又MN=2-AN-AM=DN+BM=DN+PD=PN，则△CMN△CPN(SSS)，则∠PCN=∠MCN
又由∠PCD=∠MCB可得∠PCM=∠DCB=90°，则∠PCN=∠MCN=45°，则tan∠MCN=tan45°=1，选项A判断正确；
C、以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系，则M(x0，0)，N(0，y0)，C(1，1)，x0，y0∈[0，1]，

则=(x0-1，-1)，=(-1，y0-1)，=2-(x0+y0)；当△AMN的周长为2时，x0+y0+=2， 则x0+y0（当且仅当x=y=2-时取等）故=2-(x0+y0)，C正确；
D、当△AMN的面积为时，x0·y0，则x0+y02=1，故=2-(x0+y0)1，错误；
B、
由可得，则，又，则，正确；

【分析】△AMN的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项A；求得的最小值判断选C；△AMN的面积为时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得的最大值判断选项D.

13．【答案】2

【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】=（2，2）， =（k-3，k-1）
故
解得k=2.
故填：2.
【分析】表示出两个向量=（2，2）， =（k-3，k-1），利用“两个向量垂直则其数量积为0”构造方程求解.

14．【答案】7

【知识点】棱台的结构特征

【解析】【解答】已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6.

设棱台的高为h， 根据面积比等于相似比的平方，即

， 解得h=3；

∴V=×3×（1++4）=7

故答案为：7.

 【分析】设棱台的高为h，根据面积比等于相似比的平方，求得h后代入棱台的体积公式即可求解.

15．【答案】

【知识点】平面向量加法运算；三角形中的几何计算

【解析】【解答】因为 ，作出草图如下：


故答案为：
【分析】结合图形，将 表示在平行四边形中，然后借助三角形面积公式求解；

16．【答案】

【知识点】平面向量数量积的性质

【解析】【解答】设， 则
设<， >=，则：

当且仅当时取等，即 与所成角的最大值为.
故填：
【分析】通过换元法，以，为基底，利用向量夹角公式化简，利用二次函数性质得解.

17．【答案】（1）解：设，

，

，解得.

（2）解：是方程的一个根，

，即，

则

【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算

【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.

18．【答案】（1）解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.

高为，则，所以，

所以，圆柱的底面积为，侧面积为，

圆柱的表面积为，圆柱的体积为.

（2）解：由（1）知，圆柱的侧面积为，

则，

当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体

【解析】【分析】（1） 取中点，连接 ，即为圆柱高的一半. 利用圆柱的表面积和体积公式求解即可；
（2）利用圆柱的侧面积公式 ， 将侧面积表示为仅含r的单变量函数，利用基本不等式即可求解.

19．【答案】（1）解：由的部分图象可知，所以，

所以，解得，

因为的图象过点，

所以，

所以，解得，

因为，所以，

所以，

因为的图象过点，

所以，得，解得，

所以，

（2）解：因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以的取值范围为.

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【分析】（1）根据三角函数局部图像中周期、零点、边界点等相关信息确定三角函数的参数值，求出的解析式；
（2）根据，得，根据定义域求出三角函数的取值范围为.

20．【答案】（1）解：如图，

，

，

.

（2）解：设，

则有，

三点共线，，

，

，

，，，夹角为，

.

【知识点】向量的模；平面向量的基本定理

【解析】【分析】（1）根据向量得基底表示方法， 用，表示，；
（2）用基向量 ，表示出 ，利用向量模得计算公式求解.

21．【答案】（1）解：点位于哨所北偏东方向n mile处，

点位于哨所北偏西方向n mile处，

，

，

n mile/h，

走私船的速度大小为n mile/h.

（2）解：设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，
 

，

，

，，

走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h，

，

在中，根据余弦定理，，

，

化简得，(舍去)，或，

此时，，

缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用

【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DE长，进而求解出速度；
（2）设在F点截获走私船，截获走私船所需的时间为t，表示出CF、EF的长；在中，根据余弦定理求出t的值.

22．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，

又因为，

所以，所以，

因为，所以，

又因为，所以.

（2）解：由正弦定理得，

所以，因为，所以，

所以

，

设，因为，所以，

，

所以，因为在上单调递增，

所以时，.

（3）解：因为且，为的外接圆，可得圆的半径为，

如图所示，设，连接与交于点，

由点为外一点，过点作的切线，切点分别为，，

所以，所以，因为，所以，

又因为，所以，

则，所以，

又由，所以，

因为，

可得

，

当且仅当，当时，等号成立，所以的最小值为．

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理

【解析】【分析】(1)结合正弦定理、三角和内角和关系，求出，因为，所以，.
(2)由正弦定理得，用正弦定理转化求解得式子得到 ，应用在上单调递增，得到时，.
(3)根据，得到三角形边长得数量关系，即用PO表示出PH和EH
接着使用两组基底表示出，得到单变量函数，基本不等式放缩得到，当时，等号成立，所以的最小值为．