中考数学二轮精品专题复习 专题17 单变量不含参不等式证明方法之虚设零点(原卷版)

专题17　单变量不含参不等式证明方法之虚设零点

隐零点法本质上是最值分析法，常见形式是证明h(x)＞0或f(x)>g(x)．对于f(x)>g(x)，先将不等式移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再转化为证明h(x)min>0即可，但对函数h(x)求导后，f′(x)＝0是超越形式，我们无法利用目前所学知识求出导函数零点，但零点是存在的，我们称之为隐零点(即能确定其存在，但又无法用显性的代数表达)．用隐零点证明不等式时，先证明函数f′(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有一个零点．此时设出零点x0，则f′(x0)＝0．f(x) min＝f(x0)，而f(x0)是一个超越式(含有指、对函数)和多项式函数的组合式，这时用f′(x0)＝0把超越式用代数式表示，同时根据x0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝aex－blnx，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝x＋1．

(1)求a，b；

(2)证明：f (x)>0．

[例2]　(2015全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝e2x－aln x．

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)求证：当a＝2时，f(x)≥4．

[例3]　已知函数f(x)＝ax＋lnx，函数g(x)的导函数g′(x)＝ex，且g(0) g′(1)＝e，其中e为自然对数的底数．

(1)求f(x)的极值；

(2)当a＝0时，对于任意的x∈(0，＋∞)，求证：f(x)<g(x)－2．

[例4]　(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0．

(1)求a；

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2．

【对点精练】

1．(2013·全国Ⅱ改编)设函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)若x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m＝2时，求证：f(x)>0．

2．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx，a>0．

(1)求函数y＝f(x)的单调区间；

(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2．

3．已知函数f(x)＝e－x＋ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的最值；

(2)若a＝0，证明：f(x)>－x2＋．

4．已知f(x)＝(x－1)ex＋ax2．

(1)当a＝e时，求f(x)的极值；

(2)对∀x>1，求证：f(x)≥ax2＋x＋1＋ln(x－1)．

5．已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋x＋1．

(1)当a＝－2时，求f(x)的极值点；

(2)当a＝0时，证明：对任意的x>0，不等式xex≥f(x)恒成立．

6．设函数f(x)＝x＋axln x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)的极大值点为x＝1，证明：f(x)≤e－x＋x2．