中考数学一轮复习考点复习专题14 函数与利润问题【考点精讲】（含解析）

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专题14 函数与利润问题


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题型精讲


题型一：图表类
【例1】某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售
公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数
图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）
之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润
为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．
【详解】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：a，
故y与x之间的关系式为yx2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z＝kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为zx+30；
（2）W＝zx﹣yx2+30xx2
x2+30x
（x2﹣150x）
（x﹣75）2+1125，
∵0，
∴当x＝75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；
（3）令y＝360，得x2＝360，
解得：x＝±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W（x﹣75）2+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x＝60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．
【例2】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足
一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．
【详解】解；（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，
当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，
w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．

题型二：文字类
【例3】在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元．
【分析】
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；
（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；
（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
依题意，得．
解得，，．
经检验，是原方程的根．
∴每盒产品的成本为：（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）
；
（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下
∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当时，每天的最大利润为元．
【例4】一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a元/个，售价为x元/个
（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：
①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；
②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减
少50个．
（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；
（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．
（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．
【详解】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，
解得a＝20．
y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．
（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．
∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，
即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，
∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．
答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．
（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴．
∵a＝﹣10＜0，
∵当n≤x≤48时，该商品利润G随x的增大而增大，
∴，
解得n≥16．
∵进价是降低的，
∴n的取值范围是16≤n＜20．




提分训练

1．（2021·湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【答案】（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【分析】
（1）利用待定系数法即可得；
（2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则与的函数关系式为；
（2）当时，，
，
则（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为万元，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，
答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
2．（2021·贵州）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用（万元）与月销售量（辆）（）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

4
5
6
7
8

0
0.5
1
1.5
2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与的关系式________；
(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元
【分析】
(1)观察表格中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，再代入数据求解即可；
(2)根据已知条件“每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可．
【详解】
解：(1)由表中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，
代入点(4,0)和点(5,0.5)，
得到，解得，
故与的关系式为；
(2)由题意可知：降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，
即：，其中，
∴是的二次函数，且开口向下，其对称轴为，
∴当时，有最大值为万元，
答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．
3．（2021·山东）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【分析】
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
【详解】
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：
，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：
w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
4．（2020滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．
【解析】（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
5．（2020甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
6．（2020成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【解析】（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
7．（2020遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．
【解析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
8．（2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【分析】
（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，

配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
9．（2021·广东深圳市）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元
【分析】
（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为：，
则，
解得：，
故y与x的函数关系式为： ；
（2）设总销售利润为W，
则有：，
当，销售利润万，
即单价为13万时，最大获利125万元．
10．（2021·湖北）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
【答案】（1）；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【分析】
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系为，进而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式，依题意得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：


．
∵，
∴当时，随的增大而增大．
由题意知：，
∴当时，最大，最大值为268800元．
即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
11．（2021·四川）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【分析】
（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100时，w=zx-y==，
∴当x=100时，w最大=100，
若x＞100时，w=zx-y==，
∴当x=200时，w最大=200，
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
12．（2021·辽宁）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】
（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】
（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，，，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=，
当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
13．（2021·四川）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43
【分析】
（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可；
（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可．
【详解】
（1）若降价元，则每天销量可增加千克，
∴，
整理得：，
当时，，
∴每天的利润为9600元；
（2），
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为9800，
∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；
（3）令，得：，
解得：，，
∵要让利于民，
∴，（元）
∴定价为43元．
14．（2021·辽宁）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．
【分析】
（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】
解：（1）∵依题意得，
∴与的函数关系式为；
（2）∵依题意得，
即，
解得：，，
∵
∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
（3）设每月总利润为，依题意得

∵，此图象开口向下
∴当时， 有最大值为：（元），
∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．
15．2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y（千克）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？

【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
根据图象可得方程组，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+200，x的取值范围是：30≤x≤60；
（2）设日利润为w，则可以列出函数关系式为：
w＝（﹣2x+200）（x﹣30）﹣450
＝﹣2x2+260x﹣6450，
当x65，
又∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，w取得最大值，w＝1950，
答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．
16．（2021·湖北襄阳市）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：

进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼

5
草鱼

销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求，的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利（元），销售草鱼获利（元）与的函数关系式，并写出的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利（元）的最小值不少于320元，求的最大值．
【答案】（1）；（2）①；；②0.25
【分析】
（1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进而即可求解；
（2）①根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数解析式，即可；②根据题意列出W关于x的一次函数关系式，参数为m，结合一次函数的性质，得到关于m的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：，解得，
（2）①．
当时，即：，；
当时，即：，．
∴，
②由题意得，其中．
∵当时，．不合题意．
∴．
∴随的增大而增大．
∴当时，的值最小，
由题意得．
解得：．
∴的最大值为0.25．