2022年湖北省孝感市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年湖北省孝感市中考数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

2022年湖北省黄冈市中考
数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．

2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
【详解】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
3. 北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由21000个LED灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城，将数据21000用科学记数法表示为（ ）
A. 21×103 B. 2.1×104 C. 2.1×105 D. 0.21×106
【答案】B
【解析】
【分析】首先思考科学记数法表示数的形式，再确定a，n的值，即可得出答案．
【详解】21000=2.1×104．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握形式解题的关键．即a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．
4. 下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正方形 D. 圆
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为等边三角形有三条对称轴；矩形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称轴.一般地，正多边形的对称轴的条数等于边数．故选D.
考点：轴对称图形的对称轴.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8 B. （－2a2）3＝－6a6 C. a4÷a＝a3 D. 2a＋3a＝5a2
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项逐个选项判断即可．
【详解】A、a2•a4＝a6，故A错误；
B、（－2a2）3＝－8a6，故B错误；
C、a4÷a＝a3，故C正确；
D、2a＋3a＝5a，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接CD，如图所示：

∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）


A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可得，且平分，设与交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】如图，设与的交点为，


根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④四边形是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
9. 若分式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10. 如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．


【答案】54


【解析】
【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．
【详解】因为a∥b，
所以，
因为是对顶角，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．
11. 已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝3．
故答案为3．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-
12. 如图，已知，，请你添加一个条件________，使．

【答案】或或
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：、、、共四种；直角三角形全等的判定有：、、、、共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
13. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：


石头
剪子
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪子）
（石头，布）
剪子
（剪子，石头）
（剪子，剪子）
（剪子，布）
布
（布，石头）
（布，剪子）
（布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键．
14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【解析】
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
故答案为：m2-1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可．
【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，
∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，
∴，
作∠BAC的平分线AD，

∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，
∴AD=BD，，
∴AD=BD=CD，
设，
∵∠DAC＝∠B＝36°，
∴，
∴，
∴，
解得： ，（舍去），
∴，
此时(s)，
故答案：.
【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17. 先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
【答案】，
【解析】
【分析】根据整式的加减运算化简，然后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，
原式＝．
【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．
18. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】（1）买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元
（2）至少买乙种快餐37份
【解析】
【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，

解得
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；
【小问2详解】
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，

解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
19. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，图形见解析
（2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【小问1详解】
这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：

故答案为：100；
【小问2详解】
在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
【小问3详解】
1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．


（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
【答案】（1），；
（2）；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；
（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1 （3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可．
【小问1详解】
∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，
∴， ，
解得：， ，
∴y1、y2的解析式为：，；
【小问2详解】
从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1 ∴x的取值范围为：；
【小问3详解】


作CG⊥DE于G，如图，
∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，
∴，CF=t，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，
即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，
∴∠FCA=45°，
∵CG⊥DE， ，
∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴CG==，
∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，
∴线段AC=，
∴，
∵△ACD面积为6，
∴3t=6，
解得：t=2．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．
21. 如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．


（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质和可得，由垂径定理可得，从而得到垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可得证；
（2）先利用勾股定理得到，然后利用两组对应角相等证明，从而得到，代入数据计算即可．
【小问1详解】
证明：∵直线切于点，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
由（1）知：，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
∴，
即的长为．

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
22. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．

（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元；
②或．
【解析】
【分析】（1）根据函数图像分两种情况，时y为常数，时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；
（2）①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，根据乙的面积不低于甲的3倍可求出，利用总费用等于两种花卉费用之和，将m分不同范围进行讨论列出总费用代数式，根据m的范围解出最小值进行比较即可；
②将x按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可．
【小问1详解】
由图像可知，当甲种花卉种植面积m2时，费用y保持不变，为30（元/m2），
所以此区间的函数关系式为：，
当甲种花卉种植面积m2时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
，
解得：，
∴
∴当时，y与x的函数关系式应为：
；
【小问2详解】
①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴，
解得：，
∴m的范围为：
当时，，
此时当m最小时，w最小，
即当m=30时，w有最小值（元），
当时，，
此时当m=90时，离对称轴m=50最远，w最小，
即当m=90时，w有最小值（元）
∵5625<5850，
∴当m=90时种植的总费用w最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为=270，
故甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元．
②由以上解析可知：
（1）当时，总费用=（元），
（2）当时，总费用=，
令，
解得：或，
又∵，
∴
（3）当时，总费用=（元），
综上，在、和时种植总费用不会超过6000元，
所以甲种花卉种植面积x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．
23. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
（2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
【答案】（1）详见解析
（2）①DE=；②
【解析】
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
【小问1详解】
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
【小问2详解】
①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
24. 抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．

（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【答案】（1）B（5,5），D（2,-4）；
（2），；
（3）；
【解析】
【分析】（1）将两函数解析式联立可求得B点坐标，将一般式转换为顶点式可求出D点坐标；
（2）如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，则E（2,0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，则，如图所示，当时，过D作于点G，由，可得OG=OE=2，DG=DE=4，设，则， ，解出可得n的值进而可求出P的坐标；
（3）由题易得：M（-1,5），，直线MQ的解析式为：，令，解得，则，由BM=6，可知，，，则，求出此二次函数的最值即可．
【小问1详解】
解：将y＝x2－4x与y＝x联立得：x＝x2－4x，
解得：x=5或x=0（舍去），
将x=5代入y＝x得y=5，
故B点坐标为（5,5），
将函数y＝x2－4x转换为顶点式得，故顶点D为（2,-4），
故B（5,5），D为（2,-4）；
【小问2详解】
如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，

则E（2,0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，
则，
如图所示，当时，过O作于点G，

∵，
∴OG=OE=2，DG=DE=4，
设，则，
则，
则或n=0（舍去），
则，则
综上所述，；
【小问3详解】
解：由题易得：M（-1,5），，
则直线MQ的解析式为：，
令，解得，
∴，
∵BM=6，
∴，
且，，
∴，
∵，函数开口向下，
当时，取最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，三角函数，数形结合思想，能够根据需要构造适合的辅助线是解决本题的关键．