广西河池市2021年中考数学真题（含解析）

广西河池市2021年中考数学真题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）

1. 下列4个实数中，为无理数的是（   ）

A. -2 B. 0 C.  D. 3.14

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．

【详解】解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．

2. 下列各式中，与为同类项的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，据此分析即可

【详解】与是同类项的特点为含有字母，且对应的指数为2，的指数为1,

只有A选项符合；

故选A．

【点睛】本题考查了同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．

3. 如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据左视图的定义：从左边看到的图形进行判断求解即可.

【详解】解：主视图是由前向后看得到的物体的视图，由前向后看共3列，中间一列有3个小正方形，左右两列各一个小正方形．

故从坐左边看只有1列，三行，每一行都只有一个小正方形，

故选A.

【点睛】本题主要考查了三视图的知识，解题的关键在于能够准确观察出图形的样子.

4. 如图，，是的外角，，则的大小是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可．

【详解】是的外角，，，

．

．

故选B．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．

5. 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）

A. x＞1 B. x≥1 C. x＞3 D. x≥3

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，

则该不等式组的解集是x＞3．

故选C．

考点：在数轴上表示不等式的解集．

6. 下列因式分解正确是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．

【详解】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；

B. 故该选项不正确，不符合题意；

C. ，故该选项不正确，不符合题意；

D. ，故该选项正确，符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形要找到对称轴，图形关于对称轴折叠能完全重合；中心对称图形要找到对称中心，图形绕着对称中心旋转180°能与自身重合是解题的关键．

8. 甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：

若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（   ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】D

【解析】

【分析】首先比较平均成绩，找到平均成绩最好的，当平均成绩一致时再比较方差，方差较小的发挥较稳定

【详解】甲和丁的平均成绩都为6.2，

甲方差为0.32，丁的方差为0.25，

，

丁的成绩好且发挥稳定，故应选丁，

故选D

【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．

9. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．

【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，

故选B．

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.

10. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C 没有实数根

D. 实数根的个数由m的值确定

【答案】A

【解析】

【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．

【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，

∴，

∴方程有两个不相等实数根．

故选A.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．

11. 二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（   ）

A. 对称轴是直线 B. 当时，

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．

【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；

B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，

∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意；

C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，

∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；

D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0

∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．

12. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】过作的垂线分别交于,由，证明，设，根据，求得，在中，利用勾股定理即可求得．

【详解】如图，过作的垂线分别交于，

四边形是正方形，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

四边形是正方形，

，

，

，

在和中，

（AAS），

，

设，则，

，

即，

解得，

，

四边形是正方形，，

，

，

．

故选B

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，求得是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

13. 计算：=___．

【答案】﹣2．

【解析】

【详解】立方根．

【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：

∵（－2）3=－8，∴．

14. 分式方程的解是____________．

【答案】

【解析】

【分析】按解分式方程的步骤求解即可．

【详解】

解得

经检验，是原方程的解．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．

15. 从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算，即可求解．

【详解】解：画出树状图为：

共有6种等可能结果，它们是：（-2，4），（-2，5），（4，-2），（4，5），（5，4），（5，-2），

其中点P在第四象限的结果数为2，即（4，-2），（5，-2），

所以点P在第四象限的概率为： ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率是解题的关键．

16. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．

【答案】120．

【解析】

【详解】试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．

考点：圆锥的计算．

17. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．

【答案】0

【解析】

【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得

【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点，

一次函数与反比例函数的图象关于原点对称，

故答案为：0

【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键．

18. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．

【答案】

【解析】

【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标．

【详解】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，

则轴，

为直径，则，

，

轴，

，

，，

，，

，

轴，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．）

19. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解即可得到答案.

【详解】解：

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

20. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可

【详解】

当时，

原式

【点睛】本题考查了整式的化简求值，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

21. 如图，是的外角．

（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；

（2）若，求证：．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可；

（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.

【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；

（2）∵AE∥BC，

∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，

∵AE是∠CAD的角平分线，

∴∠CAE=∠EAD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC.

【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

22. 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为．

（1）风筝离地面多少m？

（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）

【答案】（1）50；（2）128.6

【解析】

【分析】（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度；

（2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得．

【详解】（1）如图，过作

m，

风筝离地面50m

（2）

相距128.6m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．

23. 为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．

请根据上述信息解答下列问题：

（1）本次调查属于_________调查，样本容量是__________；

（2）表中的__________，样本数据的中位数位于___________组；

（3）补全条形统计图；

（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？

【答案】（1）抽样，35；（2）16，C;（3）见解析；（4）336

【解析】

【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；

（2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；

（3）根据(2)的结果补全条形统计图即可；

（4）用总人数乘以样本中成绩在D组的百分比即可．

【详解】（1）本次调查属于抽样调查，样本的容量是35，

故答案为：抽样，35；

（2），

根据中位数的定义，样本数据的中位数位于C组，

故答案为：16，C；

（3）由（2）得，C组的人数为 16，补全条形统计图如下：

（4）980（人）．

答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有336人．

【点睛】本题考查了抽样调查，样本的容量，用样本估计总体，频数分布表和频数分布直方图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量．

24. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．

（1）求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？

【答案】（1）；（2）乙种客车2辆时, 租车费用2400

【解析】

【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可；

（2）根据一次函数的性质，求得最值．

【详解】（1）设租用乙种客车x辆，租车费用为y元，

甲、乙两种客车共6辆，

租用甲种客车辆，

，，

，

，

；

（2） 租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，

即，

解得，

是正整数，

最大为，

，

，

随的增大而减小，当取最大值时候，取得最小值．

当时，租车费用最少为．

答：租用乙种客车2辆时，租车费用最少，费用为元．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．

25. 如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F．

（1）当时，求证：；

（2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）或

【解析】

【分析】（1）根据BD是圆的直径，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”证明△CAD≌△CFD即可；

（2）因为三角形CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以为直角的顶点，需要分两类讨论；当∠EDB=90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC=ED的等腰三角形，故取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；当∠AED=90°时，若三角形CED为等腰三角形，则∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，利用三角函数或相似即可求出AD.

【详解】解：（1）∵BD是圆的直径，

∴∠DFB=90°，

∴∠DFC=90°，

在Rt△CAD和Rt△FCD中，

，

∴△CAD≌△CFD（HL）；

（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，

∴直角顶点只能是D点和E点，

若∠EDB=90°，如图在AB上取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠ECD，

∵∠CAB=∠EDB=90°，

∴AC∥DE，

∴∠ACD=∠CDE，

∴∠ECD=∠CDE，

∴CE=DE，

此时三角形ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，三角形DEB是E为直角顶点的直角三角形，

设CE=DE=x，

在直角三角形ABC中，

∴BE=5-x，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴，

∴，

解得，

∴，

∵DE∥AC，

∴，

∴，

∴；

若∠DEB=90°，如图所示，∠CED=90°，

∵△CED为等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，

设EC=DC=y，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∴AD的长为或.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行分类讨论求解.

26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．

（1）求直线CA的解析式；

（2）如图，直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，于点G，若E为GA的中点，求m的值．

（3）直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究n的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

【分析】（1）由中，得，，，利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为；

（2）根据直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得，且，，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得m=2或m=3（舍去）；

（3）由得：或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得，综合可得结果．

【详解】解：（1）在中，

令得，

令得或，

∴，，，

设直线CA解析式为，则，

解得，

∴直线CA的解析式为；

（2）∵直线x=m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，

∴，且，，，

∴，，

∵，，

∴，是等腰直角三角形，

∴，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵E为GA的中点，

∴，

∴，

解得或，

∵时，D与A重合，舍去，

∴；

（3）由得：或，

①若，即，

∵且，

∴，且，

解得；

②若，即，

可得：且，

解得．

综上所述，n的取值范围是或．

【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用是解题的关键．